2015全国高中数学联赛预赛模拟题1

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1、2015全国高中数学联赛预赛模拟题11．已知函数，则最小正周期为______.解：，则最小正周期.2．关于的不等式任意两个解的差不超过9，则的最大值与最小值的和是________.解：方程的两根是，，则由关于的不等式任意两个解的差不超过，得，即.故的最大值与最小值的和是0．3.设数列的前n项和，则__________.解：4.若、，其中，，并且，则实数对表示平面上不同点的个数为_________.解：由及题设知，个位数字的选择有5种.因为，故（1）由知，首位数字的可能选择有种；（2）由及知，首位数字的可能选择有种.于是，符合题设的不同点的个数为种.5．已知（R）且则a的

2、值有______个.解：由题设知为偶函数，则考虑在时，恒有．所以当，且时，恒有．由于不等式的解集为，不等式的解集为．因此当时，恒有.故a的值有无数个．6.设且的图象经过点，它的反函数的图象经过点，则等于___________.解：由题设知化简得6解之得（舍去）.故等于4.7．已知函数的图象如图，则满足的的取值范围为．解：因为，所以.于是，由图象可知，，解得.故x的取值范围为．8．圆锥曲线的离心率是．解：原式变形为，即．所以动点到定点的距离与它到直线的距离之比为．故此动点轨迹为双曲线，离心率为．9．在中，已知，，，则的面积为．解：在中，由得．由正弦定理得．因为，

3、所以角可取锐角或钝角，从而．．故．10.中末尾0的个数为_______．解：，所以一个因子2和一个因子5乘起来，末尾就会出现一个0，而且只有这样，末尾才会出现一个0．因为,故中2的因子的个数多于5的因子的个数，所以中5的因子的个数就是中末尾0的个数．．611.在数列中，，（1）求证：数列为等差数列，并求的通项；（2）若对任意的整数恒成立，求实数的取值范围；（3）设数列，的前项和为，求证：．解：（1）由得：又，∴数列是首项为1，公差为3的等差数列∴，即：（2）∵对任意的整数恒成立，即恒成立∴对任意的整数恒成立设，则∴当时，为递增数列∴所以的取值范围为：（3）由，得所以，．

4、6xyO12.设不等式组表示的平面区域为.区域内的动点到直线和直线的距离之积为.记点的轨迹为曲线.过点的直线与曲线交于、两点.若以线段为直径的圆与轴相切，求直线的斜率.解：由题意可知，平面区域如图阴影所示．设动点为，则，即．由知，x－y<0，即x2－y2<0．所以y2－x2＝4(y＞0)，即曲线的方程为－＝1(y＞0)．设，，则以线段为直径的圆的圆心为.因为以线段为直径的圆与轴相切，所以半径，即．①因为直线AB过点F(2，0)，当AB^x轴时，不合题意．所以设直线AB的方程为y＝k(x－2)．代入双曲线方程－＝1(y＞0)得，k2(x－2)2－x2＝4，即(k2－1)x

5、2－4k2x＋(8k2－4)＝0．因为直线与双曲线交于A，B两点，所以k≠±1．所以x1＋x2＝，x1x2＝．所以

6、AB

7、＝＝＝＝

8、x1＋x2

9、＝

10、

11、，化简得：k4＋2k2－1＝0，解得k2＝－1（k2＝－－1不合题意，舍去）．由△＝(4k2)2－4(k2－1)(8k2－4)＝3k2－1＞0，又由于y＞0，所以－1

12、、、三点共线。【证法2】如图，连结、、、.因为，所以所以、、、四点共圆，有。又因为为的内心，所以。从而。因为，所以.于是.故、、三点共线。14.已知函数，．（Ⅰ）讨论函数的单调性；（Ⅱ）证明：若，则对任意，，有．解：（Ⅰ）的定义域为．6（i）若即，则，故在单调增加．（ii）若，而，故，则当时，；当及时，．故在单调减少，在单调增加．（iii）若，即，同理可得在单调减少，在单调增加．（II）考虑函数．则．由于故，即在单调增加，从而当时有，即，故，当时，有．6