2015年全国高中数学联赛吉林赛区预赛

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2015年全国高中数学联赛（吉林赛区）预赛暨2015年吉林省高中数学联赛试题及参考答案一、选择题1．已知，则（）A．B．C．D．2．“实数依次成等差数列”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．若方程在内有解，则的图象可能是（）4．已知向量的夹角为，且，，则（）A.B.C.D.5．已知，若对任意的有恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．6．函数在上存在最大值，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题7．四棱锥的底面是边长为2的正方形，，且，则四棱锥的外接球的表面积为____.8．设数列的前项和为,且．则数列的通项公式为__7 _____．9．已知函数的最小正周期为，则在区间上的值域为_____．10．如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，已知，为线段上的一点，二面角与二面角的大小相等，则的长为_____．11．从中选出三个不同数字组成四位数（其中的一个数字用两次），如，则这样的四位数共有___________个．12．非空集合，当时，目标函数既存在最大值，又存在最小值，则实数的取值范围是_____．三、解答题13．在中，内角对边的边长分别是，已知，．（Ⅰ）求的周长的最大值；（Ⅱ）若，求的面积．14．已知椭圆，直线交椭圆于两点，且，判断直线与圆的位置关系，并给出证明.15．已知不等式对任意的均成立，求实数的取值范围．16．已知，设实数满足：（1）、且不全为；（2）、；（3）、若，则（）．如果所有形如和的数均不是的倍数，则称为“好集”．求“好集”所含元素个数的最大值．7 7 参考答案一、选择题1．B2．A3．D4．D5．B提示：显然，且，又为增函数且为奇函数，故6．B提示：考虑到的唯一极大值点为，且，故，解得.二、填空题7．8．9．10．11．提示：分三类：不含0的有个；含0且0只用一次的有个；含0且0用两次的有个，于是共有个．12．提示：当时，区域为三角形，显然满足；当时，目标函数分别在边界和上取得最小值和最大值．三、解答题13．（Ⅰ）由余弦定理及已知条件得，，于是，得，所以的周长的最大值为6，当为等边三角形时取到．7 （Ⅱ）由得，即，当时，，，，，当时，得，由正弦定理得，联立方程组解得，．所以的面积．14．当直线的斜率不存在时，由知点的坐标分别为，，即直线的方程为，此时直线与圆相交。当直线的斜率存在时，设直线的方程为.由得.设两点的坐标分别为，则，，.所以.从而。圆的半径，其圆心到直线的距离当时，直线与圆相切，当时，直线与圆相交。综上，直线与圆相切或相交。15．由已知，对任意的均成立．记，其中。7 ①当时，（其中）故在上单调增，故，符合题设；②当时，若，则，故在上单调减，故，不符合题设．综上，．16．（1）构造一个元“好集”．设．若均不为，则，即为奇数，一定不是的倍数．若中有，不妨设，则由（1）知中至少有一个不为。由条件（3）知。又，因此一定不是的倍数．显然为奇数，一定不是的倍数．综上，为元“好集”．（2）设S为一个“好集”，下面证明．设的最小元素为，则中任意两元素的差不为．否则设，，得为的倍数，矛盾．将中大于的元素从大到小每个分为一组，设可分成组，余下的个数（）为，显然，组中的每一组至多有个数在中．由“好集”的定义知，，且和不同在中．我们不妨设，否则只需将中大于的元素换成，理由是若中有某个，则将其中的变为，将变为后得到的数与对不改变．下面对分情况讨论：①若，则中至多有个数属于，所以7 ．②若，则．即．综上，任意一个“好集”S必满足．由（1）（2），“好集”所含元素个数的最大值为．7