2015全国高中数学联赛预赛模拟题.doc

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1、2015全国高中数学联赛预赛模拟题91.已知离心率为的椭圆的顶点A1、A2恰好是双曲线−y2=1的左右焦点，点P是椭圆不同于A1、A2的任意一点，设直线PA1、PA2的斜率分别为k1、k2..⑴求椭圆C1的标准方程；⑵试判断k1·k2.的值是否与点P的位置有关，并证明你的结论；⑶当k1=时，圆C1：x2+y2−2mx=0被直线PA2截得弦长为，求实数m的值.解：（1）双曲线的左右焦点为,即的坐标分别为.所以设椭圆的标准方程为,则,且,所以,从而,所以椭圆的标准方程为.若是竖放的，则：(2)设则，即.所以的值与点的位置无关，恒为.（3）由圆：得，其圆心为，半径为，由（2）知当时，，故直

2、线的方程为即，所以圆心为到直线的距离为，又由已知圆：被直线截得弦长为及垂径定理得圆心到直线的距离，所以，即，解得或.所以实数的值为或.2.定义函数为的阶函数.（1）求一阶函数的单调区间；（2）讨论方程的解的个数；（3）求证：.解：(1),令,当时,当时,无单调区间；当时,的单增区间为单减区间为.当时,的单增区间为,单减区间为.解3.如图，分别是锐角的三条高，垂足分别为.以为直径的圆和交于点，过的直径的另一端点为.若和分别交于，.求证：.证明：∵分别是锐角的三条高∴它们必相交于一点，记为∴为的垂心连结∵是⊙的直径∴∵，∴四点共圆∴又∵四点共圆，∴∴，∴∥∴，∵，，∴，∴4.已知数列前项

3、和.数列满足，数列满足．（1）求数列和数列的通项公式；（2）求数列的前项和；（3）若对一切正整数恒成立，求实数的取值范围．解：（1）由已知得，当时，又，符合上式．故数列的通项公式又∵，∴，故数列的通项公式为，（2），，……①，……②①-②得，∴（3）∵,∴,当时，；当时，，∴若对一切正整数恒成立，则即可，∴，即或．5.如图，在直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，过点BADOEPl1l2yxQA(a，0)与B(0，－b)的直线与原点的距离为．又有直线y＝x与椭圆C交于D，E两点，过D点作斜率为k的直线l1．直线l1与椭圆C的另一个交点为P，与直线x＝4的交点

4、为Q，过Q点作直线EP的垂线l2．（1）求椭圆的方程；（2）求证：直线l2恒过一定点．