三角形内角和定理的证明的案例分析

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1、三角形内角和定理的证明的案例分析牛棚中学袁仁虎一、课题三角形内角和定理的证明　　二、教材内容：义务教育课程标准实验教科书数学（七至九年级，北京师范大学出版社）八年级下册第六章第五节。　　三、教学目标（１）感受证明的含义，了解证明的含义，了解证明的必要性。（２）了解命题、定理的含义，会区分命题的条件（题设）和结论。（３）体会在证明中添加辅助线的必要性以及便捷性；初步了解“数”与“形”，培养数形结合思想。　　四、教材分析１．内容分析本节内容新课程标准实验教科书各个版本都有安排，北师大版将其安排在八年级下册第六章证明（

2、一）中的第五节。在此之前，学生通过拼图曾经探索过这个结论，已经感受过这个结论的正确性，同时学习了关于命题的有关知识；而且，他们知道通过观察、度量、猜测得到的结论不一定是正确的。在本节内容之后，学生将要学习三角形内角和定理的推论以及三角形、四边形有关基本性质的证明。在这节内容中，学生第一次接触添加辅助线的方法，而辅助线在证明中的重要性不言而喻。因此，这节内容在初中数学“空间与图形”中承上启下，对今后的学习有良好的奠基作用。２．教学重点以三角形内角和定理的证明为载体，学习几何证明思想，以及辅助线的有关知识，体会数形结

3、合思想。３．教学难点辅助线添加的必要性和具体方法：（１）为什么要添加；（２）在哪里添加；（３）如何添加；（４）哪种添加方法最简便。　　五、设计思路分析三角形内角和定理是学生接触较早的定理之一，其内容和应用早已为学生所熟悉。因此，本节课须要重点解决的问题是定理的证明；在定理的证明中，学生将首次接触和应用辅助线，于是，在证明中“为什么要添加辅助线”、“如何添加辅助线”就成为这节课的重中之重。本节课的基本定位在于，通过三角形内角和定理证明的教学具体实践和感受几何证明的思想，体会辅助线在几何问题解决中的桥梁作用。同时，引

4、领学生体会数学中的重要思想———数形结合思想。首先，我从学生已有的生活经验入手，创设情境，让学生体会生活中桥梁的重要性，同时引出搭建桥梁的注意事项。然后，把生活中的桥向数学中的“桥”引申，借助“撕三角形纸片，拼接，验证三角形内角和定理”的过程分析，启发诱导学生初步体会辅助线及其在证明中的作用。最后，引领学生进一步体会辅助线添加方法的多样性，渗透“最优化”思想。　　六、教学环节设计1．分析命题（１）教师提出三角形内角和定理的证明问题。（２）组织学生回顾“撕三角形纸片，拼接，验证三角形内角和定理”的过程。（３）提出“

5、能不能通过其他的方式，达到平移其中的两个内角，进而证明三角形内角和定理”的问题。（４）分析三角形内角和定理的已知和未知，指出命题中的已知和未知相当于桥的两岸，辅助线是连接两岸的“桥”。①数的研究。对于三角形的内角和是１８０°这样一个结论，启发学生回想：我们在小学时是怎样知道这个结论的。（通过量角器进行角度的测量，这就是“数”的研究，量角器在这里起到桥的作用。）提出进一步的问题：通过前两节课的学习，我们知道通过观察、度量、猜测得到的结论不一定是正确的，测量会产生误差，问题解决得并不完美。这就促使我们去寻求新的研究方

6、向———形。（体会证明的必要性）②形的研究。启发学生回顾上节课学习的有关证明的内容，导出“平移三角形内角的办法”。师：我们学习了有关命题的知识，学习过验证一个命题正确性的一些方法，但是如何才能从数学上真正证明“三角形内角和定理”这个结论的正确性呢？请同学们回忆一下，要证明一个命题我们首先要做的工作是什么。分析命题的条件和结论。条件相当于已知，结论相当于未知。（理解命题）结合表格从形来分析已知与未知，提出问题：“用什么将两者联系起来？在哪里进行联系？怎样联系？”结合“数”与“形”进行分析。2．分组探究（１）教师组织

7、学生分组讨论：有了上面的知识作为铺垫，我们可以开展探究活动了，看哪组最先找到解决办法，找到的方法最多。（２）在学生开展探究的过程中，教师参与其中，对个别感到困难的小组可以进行适当的提示和引导。着重从下列问题去引导：①如何添线（如何架桥）———添线的目的是将三角形的三个角向一个平角或互补的两个角转化。②在哪添线（在哪架桥）———可以选择三角形的顶点、边或三角形的内部甚至外部。但在学生探究时注意分层次引导，由学生自己发现地点选择的多样性。③有几种添法（可架几座桥）———从地点上看可以有若干种，同时对平角或互补的选择又

8、有不同。④哪种最简捷（怎样架最省）———体会数学中的最优化思想，培养学生学数学、用数学的意识。（３）教师指导学生添加辅助线，给出完整的“三角形内角和定理”的证明。3．成果展示教师指导学生进行大班回报：（１）借助实物投影仪，将学生找到的添加辅助线的方法进行汇总展示。注意选取不同的方法。（２）在展示过程中，注意关注学生的表达以及寻找到的添加辅助线的方法，若有不全的，教师进行必