专题提升7-相似图形中的分类讨论

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1、专题提升7　相似图形中的分类讨论1．已知△ABC与△DEF相似，△ABC的三边长分别为2cm，3cm，4cm，△DEF的一边长是8cm，则△DEF其余两边的长不可能是(B)A．6cm和4cm　　B．12cm和10cmC．16cm和12cm　D.cm和cm【解】　提示：分△DEF的最大边为8cm，最小边为8cm和最大边或最小边均不为8cm这三种情况讨论．2．在△ABC中，E是AB上一点，AE＝2，BE＝3，AC＝4.在AC上取一点D，使△ADE与△ABC相似，则AD的值是(C)A.　B.　C.或　D.或【解】　如解图．

2、(第2题解)①若△ADE∽△ABC，则＝.∵AE＝2，BE＝3，∴AB＝5.∴＝，∴AD＝；②若△AED∽△ABC，则＝，∴＝，∴AD＝.综上所述，AD的值是或.3．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，AD＝2，BC＝5，DC＝8.若DC边上有一点P，使△PAD与△PBC相似，则符合条件的点P有(C)A．1个　B．2个C．3个　D．4个【解】　设PD＝x，则PC＝8－x.在△PAD与△PBC中，∠D＝∠C＝90°.①若△PAD∽△PBC，则＝，即＝，解得x＝，符合题意．②若△PAD∽△BPC，则＝，即＝

3、，解得x＝4±，均符合题意．综上所述，符合条件的点P有3个．　　(第3题)(第4题)4．将三角形纸片(△ABC)按如图的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF.已知AB＝AC＝3，BC＝4，若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，则BF的长是或2．【解】　易得△B′EF≌△BEF，∴可设B′F＝BF＝x，则CF＝4－x.∵∠C＝∠C，∴分情况讨论：①若△B′FC∽△ABC，则＝，即＝，∴x＝.②若△FB′C∽△ABC，则＝，即＝，∴x＝2.综上所述，BF的长是或2.5．(本溪中考)在△ABC中，

4、AB＝6cm，AC＝5cm，点D，E分别在AB，AC上．若△ADE与△ABC相似，且S△ADE∶S四边形BCED＝1∶8，则AD＝或2cm.【解】　∵S△ADE∶S四边形BCED＝1∶8，∴S△ADE∶S△ABC＝1∶9，∴△ADE与△ABC相似比为1∶3.分情况讨论：①若△AED∽△ABC，则＝.∵AC＝5cm，∴AD＝cm；②若△ADE∽△ABC，则＝.∵AB＝6cm，∴AD＝2cm.综上所述，AD＝cm或2cm.6．如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，点P由点B出发沿BA方向向终点

5、A匀速运动，速度为1cm/s；同时点Q由点A出发沿AC方向向终点C匀速运动，速度为2cm/s.连结PQ，设点P，Q运动的时间为t(s)(0＜t＜2)，当以A，P，Q为顶点的三角形与△ACB相似时，t的值为或．　(第6题)【解】　在Rt△ACB中，∵AC＝4，BC＝3，∴AB＝＝5.由题意，得BP＝t，AQ＝2t，∴AP＝5－t.∵∠A＝∠A，∴分两种情况：①若△APQ∽△ABC,则＝，即＝，解得t＝.②若△AQP∽△ABC，则＝，即＝，解得t＝.综上所述，t的值为或.7．在△ABC中，P是AB上的动点(点P异于A，B

6、两点)，过点P的直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线，简记为P(lx)(x为正整数)．(1)如图①，∠A＝90°，∠B＝∠C，当BP＝2PA时，P(l1)，P(l2)都是过点P的△ABC的相似线[其中P(l1)⊥BC，P(l2)∥AC]，此外还有1条过点P的△ABC的相似线．(第7题)(2)如图②，∠C＝90°，∠B＝30°，当＝或或时，P(lx)截得的三角形面积为△ABC面积的.【解】　(1)过点P作l3∥BC，则l3也是过点P的△ABC的相似线．(2)分三种情

7、况讨论：①如解图①，P为斜边AB的中点，＝；②如解图②，CP为AB的垂线，＝；③如解图③，BP＝BC，＝.综上所述，当BP＝或或时，P(lx)截得的三角形面积为△ABC面积的.(第7题解)8．已知矩形ABCD与长为30，宽为20的矩形相似，且AB＝15，求矩形ABCD的周长和面积．【解】　若AB为长，则有＝，解得CB＝10.此时矩形ABCD的周长＝2×(15＋10)＝50，矩形ABCD的面积＝15×10＝150；若AB为宽，则有＝，解得CB＝22.5.此时矩形ABCD的周长＝2×(15＋22.5)＝75，矩形ABCD

8、的面积＝22.5×15＝337.5.9．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x＋1交x轴于点A，交y轴于点B.试在y轴上找一点P，使△AOP与△AOB相似，你能找出几个这样的点(点P与点B不重合)？分别求出对应AP的长．　(第9题)【解】　易可求得点A(－2，0)，B(0，1)，∴＝.∵点P在y轴上，且点P与点B不重合，∴∠AOB＝∠AOP＝90