《正弦、余弦函数的图象》导学案

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1、正弦函数、余弦函数的图象(第1课时)1.利用单位圆中的三角函数线作出y=sinx,x∈R的图象,明确图象的形状.2.根据关系cosx=sin(x+π2),作出y=cosx,x∈R的图象.3.用“五点法”作出正弦函数、余弦函数的简图,并利用图象解决一些相关问题.平静的水面,投入一颗石子,荡起阵阵水波;艺术体操中的带操,运动员将带子的一头固定在一根棒上,抓住棒上下移动,带子变成波浪状……光波、声波、电磁波传播的波动图与我们所学的三角函数的图象有什么联系?问题1:正弦函数(或余弦函数)的定义实数集与角的集合之间存在一一对应关系,而一个确定的角对应着唯一确定的正弦(或余弦)值.这样,任意给定一个实

2、数x,有唯一确定的值sinx(或cosx)与之对应.由这个对应法则所确定的函数y=sinx(或y=cosx)叫作正弦函数(或余弦函数),其定义域是R.问题2:根据正弦线作正弦函数y=sinx的图象(1)如图所示,作y=sinx在[0,2π]上的函数图象:在直角坐标系的x轴上任取一点O1,以O1为圆心,单位长为半径作圆,从这个圆与x轴的交点A起,把圆分成12等份(等份越多,画出的图象越精确).相应地,把x轴上0到2π这一段也分成　　　　等份,得到了一组角:0,π6,π3,π2,…,2π,这些角的正弦值等于它们对应的正弦线,在单位圆中作出与角0,π6,π3,π2,…,2π对应的正弦线.把角x的

3、正弦线向右平移,使得正弦线的起点与x轴上相应的点x重合,用光滑曲线把这些正弦线的终点连接起来,就得到正弦函数y=sinx在[0,2π]上的图象. (2)作y=sinx在R上的函数图象:根据终边相同的同名三角函数值相等,把上述图象沿着x轴向右和向左连续地平移,每次移动的距离为　　　　,就得到y=sinx在R上的图象. 　　问题3:用正弦函数的图象作出余弦函数的图象由诱导公式,得cosx=　　　　　　,因此将y=sinx的图象向左平移π2个单位即可得到y=cosx的图象. 　　问题4:用“五点法”作y=sinx和y=cosx的图象　　　　　,　　　　　,　　　　　,　　　　　,　　　　　这五个

4、点描出后,用光滑的曲线依次连接各点,则正弦函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象的形状就基本上确定了. 　　　　,　　　　,　　　　,　　　　,　　　　这五个点描出后,用光滑的曲线依次连接各点,则余弦函数y=cosx,x∈[0,2π]的图象的形状就基本上确定了. 因此,在精确度要求不太高时,我们常常先描出这五个点,然后用光滑的曲线,将它们连接起来,就可得到在相应区间内正弦函数、余弦函数的简图,这种方法叫作“五点法”.利用“五点法”作正弦函数、余弦函数的图象利用“五点法”作函数y=-sinx+1(0≤x≤2π)的简图.利用三角函数图象求定义域求函数f(x)=lgsinx+16-x2的定义域

5、.三角函数与其他函数图象的综合若函数y=sinx-logax有5个零点,求实数a的取值范围.(2013年·山东卷)函数y=xcosx+sinx的图象大致为(　　).　　考题变式(我来改编):参考答案知识体系梳理问题2:(1)12　(2)2π问题3:sin(π2+x)问题4:(0,0)　(π2,1)　(π,0)　(3π2,-1)　(2π,0)　(0,1)　(π2,0)　(π,-1)　(3π2,0)　(2π,1)重点难点探究探究一:【解析】取值列表:x0π2π3π22πsinx010-101-sinx10121　　描点,连线,如图所示.【小结】要理解用几何法作正弦函数、余弦函数的图象的意义,掌

6、握“五点法”作图.“五点”即y=sinx或y=cosx的图象在一个最小正周期内的最高点、最低点和与x轴的交点.“五点法”是作简图的常用方法.　　探究二:【解析】由题意,x满足不等式组sinx>0,16-x2≥0,即sinx>0,-4≤x≤4,作出y=sinx的图象,如图所示.结合图象,可得x∈[-4,-π)∪(0,π).【小结】一些三角函数的定义域可以借助函数图象直观地观察得到,解题时还要注意区间端点的取舍.　　探究三:【解析】在同一平面直角坐标系中分别作出函数y=sinx与函数y=logax的图象,当两个函数图象恰好有5个交点时,只需满足不等式组loga9π2<1,loga13π2>1,

7、解得9π21时解法如上,解得9π2-1,loga11π2<-1,解得211π