随机抽样与估计总体

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1、第三十四讲随机抽样与估计总体一、引言：本讲的主要内容是用随机抽样的方法在总体中抽取样本，会用样本的频率分布估计总体的分布，并会用样本的特征来估计总体的分布.本讲考纲要求为：1．理解随机抽样的必要性和重要性．会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样方法．2．了解频率分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点．3．理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差;能从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差),并作出合理的解释；会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特

2、征，理解用样本估计总体的思想．会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题．4．变量的相关性：会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系；了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程．本讲命题方向为:对本讲的考查以基本题(中、低档题）为主，多以选择题、填空题的形式出现，以实际问题为背景，综合考查学生学习基础知识、应用基础知识、解决实际问题的能力；热点是随机抽样方法中的分层抽样、系统抽样方法、频率分布直方图和用样本的数字特征估计总体的数字特征．二、考点梳理（一）三种常用抽样方法：1．简单随机抽样：设一个总

3、体的个数为N．如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等，就称这样的抽样为简单随机抽样．实现简单随机抽样，常用抽签法和随机数表法.（1）抽签法制签：先将总体中的所有个体编号（号码可以从1到N），并把号码写在形状、大小相同的号签上，号签可以用小球、卡片、纸条等制作，然后将这些号签放在同一个箱子里，进行均匀搅拌；抽签：抽签时，每次从中抽出1个号签，连续抽取m次；成样：对应号签就得到一个容量为m的样本．抽签法简便易行，当总体的个体数不多时，适宜采用这种方法．（2）随机数表法编号：对总体进行编号，保证位数一致；数数：当随机地选定开始读数的数后，读

4、数的方向可以向右，也可以向左、向上、向下等等．在读数过程中，得到一串数字号码，在去掉其中不合要求和与前面重复的号码后，其中依次出现的号码可以看成是依次从总体中抽取的各个个体的号码．成样：对应号签就得到一个容量为n的样本.2．系统抽样：当总体中的个数较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按照预先定出的规则，从每一部分抽取1个个体，得到所需要的样本，这种抽样叫做系统抽样（也称为机械抽样）.系统抽样的步骤可概括为：（1）将总体中的个体编号．采用随机的方式将总体中的个体编号；（2）将整个的编号进行分段．为将整个的编号进行分段，要确定分段的间隔．当是整数时，；当不是整数时，通过从

5、总体中剔除一些个体使剩下的个体数N´能被整除，这时；（3）确定起始的个体编号．在第1段用简单随机抽样确定起始的个体编号；（4）抽取样本．按照先确定的规则（常将加上间隔）抽取样本：．3．分层抽样：当已知总体由差异明显的几部分组成时，常将总体分成几部分，然后按照各部分所占的比进行抽样，这种抽样叫做分层抽样，其中所分成的各部分叫做层．（二）用样本估计总体1．用样本的数字特征估计总体的数字特征（1）众数、中位数在一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数；将一组数据按照从大到小（或从小到大）排列，处在中间位置上的一个数据（或中间两位数据的平均数）叫做这组数据的中位数．(2)平

6、均数与方差如果这n个数据是，那么叫做这n个数据平均数；如果这n个数据是，那么叫做这n个数据方差；同时叫做这n个数据的标准差.2．频率分布直方图、折线图与茎叶图样本中所有数据（或数据组）的频数和样本容量的比，就是该数据的频率．所有数据（或数据组）的频率的分布变化规律叫做频率分布，可以用频率分布直方图、折线图、茎叶图来表示．作频率分布直方图的步骤：（1）求极差（即一组数据中最大值与最小值的差）；（2）决定组距与组数；（3）将数据分组；（4）列频率分布表；（5）画频率分布直方图．注：频率分布直方图中小正方形的面积=组距×=频率．总体密度曲线：当样本容量足够大，分组越多，折线越接

7、近于一条光滑的曲线，此光滑曲线为总体密度曲线．折线图：连接频率分布直方图中小长方形上端中点，就得到频率分布折线图．(三)线性回归回归分析：对于两个变量，当自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫相关关系或回归关系．回归直线方程：设与是具有相关关系的两个变量，且相应于n个观测值的n个点大致分布在某一条直线的附近，就可以认为对的回归函数的类型为直线型：．其中，．我们称这个方程为对的回归直线方程．三、典型例题选讲题型1：统计概念及简单随机抽样例1（1）为调查参加运动会的1000名运动员的年龄情况，从中抽查了