随机变量与分布函数

《随机变量与分布函数》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第三章随机变量与分布函数§3.1随机变量及其分布一、随机变量的定义(1)掷一颗骰子，出现的点数1，2，……，6.(2)n个产品中的不合格品个数0，1，2，……，n(3)某商场一天内来的顾客数0，1，2，……(4)某种型号电视机的寿命:[0,+)(1)掷一颗骰子，出现的点数1，2，……，6.(2)n个产品中的不合格品个数0，1，2，……，n(3)某商场一天内来的顾客数0，1，2，……(4)某种型号电视机的寿命:[0,+)随机变量的定义定义3.1.1设={}为某随机现象的样本空间，是定义于概率空间(Ω,F,P)上的单值实函数，如果对直线上任何一个博雷尔点集B,有F则

2、称为随机变量，而称为随机变量的概率分布。.注意点(1)随机变量是样本点的函数，其定义域为，其值域为R=(，)(2)若为随机变量，则均为随机事件.即若随机变量可能取值的个数为有限个或可列个，则称为离散型随机变量.若随机变量的可能取值充满某个区间[a,b]，则称为连续型随机变量.前例中的,,为离散型随机变量；而为连续型随机变量.两类随机变量定义3.1.2设为一个随机变量，对任意实数x，称F(x)=P{

3、)单调不降；(2)有界：0F(x)1，F()=0，F(+)=1；(3)左连续：F(x-0)=F(x).注意点注意以下一些表达式：三、离散型随机变量设离散随机变量ξ的可能取值为：x1，x2，……，xn，……称pi=P(ξ=xi)，i=1,2,……为ξ的分布列.分布列也可用表格形式表示：ξx1x2……xn……Pp1p2……pn……分布列的基本性质(1)pi0，(2)(正则性)(非负性)注意点对离散随机变量的分布函数应注意：(1)F(x)是递增的阶梯函数;(2)其间断点均为左连续的;(3)其间断点即为ξ的可能取值点;(4)其间断点的跳跃高度是对应的概率值.ξx1x

4、2……xk……Pp1p2……pk……一般，设离散型r.v.ξ的分布律为：则X的分布函数F(x)=P{ξ

5、0)=1/9.由此得：P(η1)=1P(η=0)所以1/9=P(ξ=0)=(1p)2，从而解得:p=2/3.=1-(1p)4=80/81.若随机变量ξ的概率分布为则称ξ服从参数为的泊松分布,记为ξ~P().泊松分布超几何分布对应于不返回抽样模型：N个产品中有M个不合格品，从中抽取n个，不合格品的个数为X.超几何分布X为独立重复的伯努里试验中，“首次成功”时的试验次数.几何分布具有无记忆性，即：P(ξ>m+n

6、ξ>m)=P(ξ>n)几何分布巴斯卡分布(负二项分布)巴斯卡分布与几何分布的关系：为独立重复的伯努里试验中，“第r次成功”时的试验次数.为从第i-1次成

7、功后算起，“首次成功”时的试验次数.四、连续型随机变量连续随机变量ξ的可能取值充满某个区间(a,b).因为对连续随机变量ξ，有P(ξ=x)=0，所以无法仿离散随机变量用P(ξ=x)来描述连续随机变量ξ的分布.注意离散随机变量与连续随机变量的差别.定义设随机变量ξ的分布函数为F(x),则称ξ为连续随机变量，若存在非负可积函数p(x)，满足：称p(x)为分布密度函数，（densityfunction）.密度函数的基本性质满足(1)(2)的函数都可以看成某个连续随机变量的分布密度函数.(非负性)(正则性)注意点(1)(2)F(x)是(∞,+∞)上的连续函数;(3)P(ξ=x

8、)=F(x+0)F(x)=0;注意点(1)(2)F(x)是(∞,+∞)上的连续函数;(3)P(ξ=x)=F(x+0)F(x)=0;(4)P{a<ξ≤b}=P{a<ξ