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1、24.3正多边形和圆问题1.什么样的图形是正多边形？2.正多边形具有轴对称、中心对称吗？其对称轴有几条，对称中心是哪一点？各边相等,各角也相等的多边形是正多边形.活动1正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心。边数是偶数的正多边形还是中心对称图形，它的中心就是对称中心n想一想：菱形是正多边形吗？矩形和正方形呢?为什么？你知道正多边形与圆的关系吗？以正五边形为例,你能证明吗?活动2已知：如图,把⊙O分成把⊙O分成相等的5段弧,依次连接各分点得到五边形ABCDE.求证：五边形ABCDE是正多边形∴
2、AB=BC=CD=DE=EA,∴∠A=∠B.∵·ABCDEO同理∠B=∠C=∠D=∠E.又五边形ABCDE的顶点都在⊙O上,∴五边形ABCD是⊙O的内接正五边形,⊙O是五边形ABCD的外接圆.我们以圆内接正五边形为例证明.证明：正多边形和圆的关系非常密切,只要把一个圆分成相等的一些弧,就可以作出这个圆的内接正多边形,这个圆就是这个正多边形的外接圆.活动2正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角.O·中心角半径R边心距r我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心.外接圆的半径叫做正多边形的半径.中心到正多边形的距离叫做
3、正多边形的边心距.思考:正多边形有内切圆吗?如果有,请指出它的圆心与半径.内切圆的半径与边心距有什么关系?任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,这两个圆是同心圆EFCD..O中心角ABG设正多边形的边长为a,半径为R,它的周长为L=na.Ra正n边形的一个内角的度数是____________;中心角是___________;正多边形的中心角与外角的大小关系是________.相等1、图中正六边形ABCDEF的中心角是它的度数是2、你发现正六边形ABCDEF的半径与边长具有什么数量关系？为什么？BAEFCD.O∠AOB60度3.已
4、知正n边形的一个外角与一个内角的比为1﹕3,则n等于()A.4B.6C.8D.124.如果一个正多边形绕它的中心旋转90°就和原来的图形重合,那么这个正多边形是()A.正三角形B.正方形C.正五边形D.正六边形CB例有一个亭子,它的地基半径为4m的正六边形,求地基的周长和面积(精确到0.1m2).解:如图由于ABCDEF是正六边形,所以它的中心角等于，△OBC是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径.因此,亭子地基的周长l=4×6=24(m).在Rt△OPC中,OC=4,PC=利用勾股定理,可得边心距亭子地基的面积OABCDEFR
5、Pr活动33.分别求出半径为R的圆内接正三角形，正方形的边长，边心距和面积.解：过O点作OD⊥BC,垂足为D,连接OB,OC连接OB，则OB=R，∠COB=360÷3=120°,在Rt△OBC中OB=OC∠OBD=∠OCB=(180°-∠BOC)÷2=30°在Rt△OBD中∠OBD=30°,边心距:OD=1/2OB=·ABCDO解：连接OB，OC作OE⊥BC垂足为E，∠OEB=90°∠OBE=∠BOE=45°在Rt△OBE中为等腰直角三角形·ABCDOE1.各边相等的圆内接多边形是正多边形?各角都相等的圆内接多边形呢?如果是,说明为什
6、么;如果不是,举出反例.各边相等的圆内接多边形是正多边形.多边形A1A2A3A4…An是⊙O的内接多边形,且A1A2=A2A3=A3A4=…=An－1An,∴多边形A1A2A3A4…An是正多边形.·A1A２A３A４A５A６A７AnO2.完成教材第107页第1题由于正多边形在生产、生活实际中有广泛的应用性，所以会画正多边形应是学生必备能力之一。怎样画一个正多边形呢？问题1：已知⊙O的半径为2cm，求作圆的内接正三角形.120°①用量角器度量，使∠AOB=∠BOC=∠COA=120°．②用量角器或30°角的三角板度量，使∠BAO=∠CA
7、O=30°．AOCB活动3你能用以上方法画出正四边形、正五边形、正六边形吗？·ABCDO·ABCDEOOABCDEF·90°72°60°你能尺规作出正四边形、正八边形吗？·ABCDO只要作出已知⊙O的互相垂直的直径即得圆内接正方形，再过圆心作各边的垂线与⊙O相交，或作各中心角的角平分线与⊙O相交，即得圆接正八边形，照此方法依次可作正十六边形、正三十二边形、正六十四边形……你能尺规作出正六边形、正三角形、正十二边形吗？OABCEF·D以半径长在圆周上截取六段相等的弧，依次连结各等分点，则作出正六边形.先作出正六边形，则可作正三角形，正十
8、二边形，正二十四边形………说说作正多边形的方法有哪些?归纳（1）用量角器等分圆周作正n边形；（2）用尺规作正方形及由此扩展作正八边形,用尺规作正六边形及由此扩展作正12边形、正三角形．1、正方形ABCD的外接圆圆心O叫做
