2011.6.22函数导数专题

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1、函数与导数奥运盛典—陶传宝美丽的西双版纳函数与导数专题1.基本初等函数——如：2.复合函数——如：函数的分类3.叠加函数——如：4.分段函数——如：二次函数、指数函数，正弦函数从函数的解析式构成导数的概念1.曲线的切线βy=f(x)PQMΔxΔyOxy如图,曲线C是函数y=f(x)的图象,P(x0,y0)是曲线C上的任意一点,Q(x0+Δx,y0+Δy)为P邻近一点,PQ为C的割线,PM//x轴,QM//y轴,β为PQ的倾斜角.PQoxyy=f(x)割线切线T请看当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时,

2、割线PQ绕着点P逐渐转动的情况.我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线PQ有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线.设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.即:这个概念:①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;②切线斜率的本质——函数平均变化率的极限.要注意,曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲

3、线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个.例1:求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.QPy=x2+1xy-111OjMDyDx因此,切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x.求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:先利用切线斜率的定义求出切线的斜率,然后利用点斜式求切线方程.导数的标准定义导数的物理意义一般地，设物体的运动规律是s＝s(t)，则物体在t到t+Δt这段时间内的平均速度为瞬时速度为当Δt→0，平均速度v的极限；加速度：导数基本公式和差积商

4、的导数公式复合函数的导数公式已知可导函数y=f(u)、u=g(x)的复合函数为y=f[g(x)]那么，复合函数为y=f[g(x)]的导数为：分段函数的导数原则如果分段函数f(x)在每一个分段开区间内都是连续可导函数，那么求这个分段函数f(x)的导数的原则是分别分段求导数。如：函数的单调性的充要条件如果函数y=f(x)在某个区间内可导,那么(1)f(x)≥0(f(x)>0)是y=f(x)为增函数的充要条件。(2)f(x)≤0(f(x)<0)是y=f(x)为减函数的充要条件。当导函数f(x

5、)在给定区间内存在x值使得f(x)=0，那么，f(x)≥0或f(x)≤0设函数f(x)在点x=x0及其附近有定义,如果对x0附近的所有点,都有f(x)f(x0),就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值,记作:y极小值=f(x0),极大值与极小值统称为极值.函数极值的定义一般地,当函数f(x)在点x0处连续时(1)如果在x0附近的左侧f(x)>0,右侧f(x)

6、<0,那么f(x0)是极大值;(2)如果在x0附近的左侧f(x)<0,右侧f(x)>0,那么f(x0)是极小值.判断f(x0)是极值的方法求可导函数f(x)的极值的步骤:(1)确定函数的定义域;(3)求方程f(x)=0的根;(2)求导数f(x);(4)检查f(x)在方程f(x)=0的根左右的值的符号,如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小值。连续可导函数f(x)在x=x0处有极值的必要条件连续可导函数f(x)在闭区间[a,b]上求

7、最值步骤(1)先求出函数f(x)在闭区间[a,b]上极值。(2)再求出函数f(x)在闭区间[a,b]上区间端点值(3)比较函数的极值与f(a)、f(b)的大小,最后确定极值的大小。函数与导数高考要点：1.利用导数判定复合函数、叠加函数的单调性。2.利用导数求复合函数、叠加函数的极值、最值。3.利用导数证明不等式。高考比较流行的问题类型1.讨论函数的单调性，求函数的极值最值问题2.利用导数探究恒成立不等式的未知系数取值范围问题。3.利用导数探究方程有解问题及方程的位置系数取值范围问题。4.利用导数

8、探究数列的单调性及不等式的证明问题。第一课时典型例题1.设函数f(x)在x=x0处可导，则……()2.设函数f(x)是可导函数，且满足，则过曲线y=f(x)上的点(1,f(10)的斜率为……()2.已知曲线C:y=x2+x,试求出下列两种情况系的曲线切线方程。(1)曲线C在点x=1处的切线方程。(2)过点(1,1)的曲线C的切线方程。3.求下列函数的导数典型例题1(1)求y=(x2-3x+2)sinx的导数.解:(1)y=(x2-3x+2)sinx+(x2-3x+2)(sinx)=(2x-