6.2粒子运动量子描述

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1、§6.2粒子运动状态量子描述1900年，普朗克研究黑体辐射时，提出了一个划时代的观点，“能量子”假说，从而解决了黑体辐射问题。1905年，爱因斯坦提出光量子概念，解决了光电效应问题，并被证实存在光量子，简称光子。1913年，玻尔将“量子化”概念引入到1911年卢瑟福建立的原子模型中，解决了原子中电子稳定运行及原子发光问题。1924年，德布罗意提出了微观粒子具有波粒二象性的物质波假说，认为粒子能量：粒子动量：式中与h同称为普朗克常数。量子力学有一个重要观点，微观粒子都具有波粒二象性。由此导出了一个结果：测不准关系此也即

2、是一维m空间在误差范围内的最小“体积元”。1、运动状态的量子描述在这里，我们同样关注的是能量问题。量子力学的观点是：微观粒子的运动状态由一组量子数描述。例1线性谐振子对于一维线性谐振子，量子力学给出其能量其运动状态由量子数n描述。从中看出能量值是分立的，称为能级。对于三维线性谐振子，其能量为其运动状态由一组（nx,ny,nz）量子数描述，每一组数表示一个量子态。但从中也看出，同一能级，可能有几个量子态。例如5ћw/2能级，可以有的量子态为三个不同的量子态。三维线性谐振子，其能量又可写成：这里引入一个量子力学中重要的概

3、念：简并度。同一能级有不同的量子态，称该能级是简并的，简并度就是同一能级的量子态数。显然，一维线性谐振子是非简并的。问：三维线性谐振子的简并度是多少？（答：）对于二维线性谐振子，例2转子对于转子，量子力学得出：转动能量为对于给定的l值（即给定的角动量），转子的转动方向也是量子化的，或说角动量在z轴上的投影Mz是量子化的，即即：转子的运动状态由量子数（l,m）来描述。显然，对于给定的l能级，有(2l+1)个量子态，即转子的能级是简并的，简并度为(2l+1)。例3自旋粒子同样，粒子自旋角动量S满足：其在z轴上的投影满足：

4、运动状态由量子数（S,mS）来描述。对于给定的自旋量子数S，有(2S+1)个量子态。例如电子的自旋为1/2。对由S描述的能级，其简并度为2。例4外磁场中的自旋粒子外磁场：B自旋磁矩：m1）自旋为1/2的电子（即给定自旋量子数S）个体量子态（运动状态）用Sz描述。因为S＝1/2，所以mS＝±1/2。又，所以电子在外磁场中的能量为个体能级e1=-m0Be2=m0B简并度112）自旋为1的粒子个体量子态用mS描述：mS＝0，±1个体能级e1=-m0Be2=0e3=m0B简并度111例5方盒中的自由粒子对于处在长度为L的一维

5、盒子，其动量可能为其能量可能为除0外，其余能级简并度为2。对于三维方盒，其能量可能为个体量子态用（nx,ny,nz）描述。除0外，其余能级是简并的。例如对于，简并度为2×3=6；对于，简并度为3×4=12；对于，简并度为2×4=8；对于，简并度为2×3=6。例6方盒中的自由电子对于三维方盒中的电子，个体量子态用（nx,ny,nz,mS)描述，mS=±1/2。其能量仍为个体量子态用（nx,ny,nz,mS)描述。其能级是简并的。例如对于，简并度为2×1=2；对于，简并度为2×6=12；对于，简并度为2×12=24。例6

6、方盒中的光子同样，其个体能级用（nx,ny,nz,mS)描述，但mS=±1表示两个偏振方向。其能量仍为其能级是简并的。例如对于，简并度为2×1=2；对于，简并度为2×6=12；对于，简并度为2×12=24。2、量子态数的计算1）自由粒子粒子在微观范围（例原子内），量子效应明显。若是在宏观范围，L®¥,则粒子的动量和能级基本可以看成是连续的。因此，由得出在px-px+dpx范围内，可能的px数目（量子态数）为：同样有：由此，我们得到在px到px+dpx，py到py+dpy，pz到pz+dpz范围内，自由粒子的量子态数为

7、：类似地，分布在p到p+dp，q到q+dq，j到j+dj范围内，自由粒子的量子态数为：D称为态密度。因此，分布在p到p+dp范围内的量子态数为：若以能量为空间坐标，因为e=p2/2m，所以分布在e到e+de范围内的量子态数为：其相应的态密度为：2）自由电子对于电子，由于个体量子态用（nx,ny,nz,mS)描述，mS=±1/2，即考虑到电子自旋。因此，在px到px+dpx，py到py+dpy，pz到pz+dpz范围内，电子的量子态数为：电子分布在p到p+dp范围内的量子态数为：电子分布在e到e+de范围内的量子态数为

8、：其相应的态密度为：3）e=cp的粒子与自由粒子分析类似。分布在p到p+dp范围内的量子态数为：由于e=cp，即de=cdp。所以，分布在e到e+de范围内的量子态数为：问：若考虑自旋，例如光子，结果如何？（注：光子mS=±1）