有心力场中粒子的运动和氢原子的量子描述

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1、【教育类精品资料】§13-4有心力场中粒子的运动和氢原子的量子描述1、电子在库仑场中的运动定态Schrodinger方程为考虑一电子在一带正电的核所产生的电场中运动，电子质量为m，电荷为-e，核电荷为+Ze。取核在坐标原点(核固定)，体系哈密顿函数为:球坐标下变为:分离变量,化简方程:定态Schrodinger方程的解——本征函数、本征值为:……能量是分离谱,函数是束缚态,粒子在无限远处不出现.两个概念:（1）束缚态——通常把在无限远处为0的波函数所描写的状态称为束缚态；一般地说，束缚态所对应的能级是分立的。（2）能级简并、非简并——一个本征能量

2、对应一个本征函数称为能级非简并；一个本征能量对应几个本征函数称为能级简并；因此,对应于第n个能级,有个本征波函数.即,第n个能级是度简并的,或称为简并度为.例：给出n=2时所有的本征波函数表示2、氢原子前提:核固定!电子在核产生的库仑场中的运动对氢原子,严格说,应该考虑核的运动,即讨论的是两个粒子——电子和核在库仑相互作用下的运动——两体问题！Ψ(r1,r2)引入质心坐标R和相对坐标r,以及总质量M和约化质量μ:则有:则相对坐标和质心坐标下薛定谔方程形式为：分离变量法,令:我们感兴趣的是描述氢原子的内部状态的第一个方程，它描述一个质量为的粒子在

3、势能为U(r)的力场中的运动。其中(2)式是质心运动方程，描述能量为的自由粒子的定态薛定谔方程，说明质心以能量作自由运动。两体问题单体问题质量——约化质量方程(1)称为氢原子的相对运动方程，解此方程得到一个电子相对于核运动的波函数(r)以及相对运动能量E，这就是就是氢原子的波函数和能级。由氢原子的相对运动方程可见，同于电子在固定核的库仑场中的薛定谔方程，故直接令Z=1，得到氢原子的能级和波函数：由能级公式得到下面结论：(a)基态和电离能n=1的态是基态，基态能量为：当n→∞时，E∞=0，则电离能为：(b)氢原子谱线上式就是由实验总结出来的巴尔末

4、公式。在旧量子论中Bohr是加进量子化条件后得到的，而在量子力学中是通过解Schrodinger方程自然而然地导出的，这是量子力学发展史上最为突出的成就之一。