6.2(1)正切函数的图像与性质

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1、6.2正切函数的图像与性质（1）一、教学目标设计1.理解利用正切线作出的正切函数图像.2.通过观察正切函数图像了解与感悟正切函数的性质.3.通过练习与训练体验并初步掌握正切函数的基本性质.二、教学重点及难点利用正切线作正切函数的图像；正切函数单调性的证明以及周期性的确定.三、教学过程设计一、复习引入1．复习我们在前几节中学习了正弦函数线、余弦函数线以及正切函数线，我们通过正弦函数线，画出了正弦函数的图像，并研究了函数的性质.今天，我们同样按照这样的方法通过正切线来画出正切函数的图像，并研究和讨论它的性质.2．引入当在第一像限时，正弦线,余弦线,正切线,那么，当α在其它三个象限的情况呢？请同学

2、们画出其它三个象限的正切线.我们将区间进行八等分，9个点分别为分别画出其中的正切线，然后利用描点法画出正切函数的大致图像.（如下图左）由正切三角比的诱导公式可知：，那么y=，可知为的一个周期.由此，我们可以画出y=tanx在R上的大致图像。（如下图右）二、学习新课1．探究性质观察正切函数的图像，引导学生得正切函数的性质：（1）定义域：，（2）值域：R观察：当从小于，时，当从大于，时，.（3）周期性：（4）奇偶性：奇函数.（5）单调性：在开区间内，函数单调递增.从图像上看出函数y=tanx的单调区间是，但是我们怎样从理论上去加以证明呢？考察这个区间内的函数y=tanx的单调性.在这个区间内任意

3、取，且，因为，所以则，从而，，即正切函数y=tanx在上是增函数.由奇函数的性质可知，在上正切函数y=tanx也是增函数.由于y=tanx的周期为，则函数y=tanx在开区间内单调递增.除了上述证明方法以外，请同学们思考:对于正切函数y=tanx，你还有什么方法能够证明它在开区间内单调递增吗？证法2：在这个区间内任意取，且,tanx1-tanx2=因为tan(x1-x2)<0，tanx1≥0，tanx2>0.因此1+tanx1·tanx2>0.则tanx1-tanx2<0,tanx1

4、定要讲在每一个单调区间上是增函数，而不能讲它在定义域上是增函数，为什么？请同学们思考并说明之.2．例题分析例1.（1）比较tan1670与tan1730的大小;（2）比较与的大小.解：(1)∵900<1670<1730<1800，而y=tanx在900～1800上单调增函数，∴tan1670

5、增区间为；的单调递增区间是：变式：求函数的单调区间：解：因为原函数可以化为：的单调递增区间为：的单调递减区间为注：在考虑正切函数与其他函数复合的问题时，需要分别注意这两个函数的单调性，然后根据复合函数的规则：增增得增，增减得减，确定单调区间.例4.求函数的周期。解：变式：求解解：[思考]由上面的例4及其变式，请你归纳一下函数y=Atan(ωx+Ф)的周期是什么？（）三、巩固练习求函数y=tan的定义域、值域，并指出它的奇偶性、单调性以及周期.解：定义域是；值域为R；存在x=和x=-,使tan(3·-)≠±tan[3·(-)-]，故y=tan是非奇非偶函数.由可以得到∴y=tan在上是增函数.

6、令f(x)=y=tan=tan=tan[3(x+)-]=f(x+)∵f(x)=f(x+)，∴函数f(x)=y=tan的周期是.四、课堂小结正切函数y=tanx的性质：定义域：；值域：全体实数R；周期性：T=奇偶性：奇函数；单调性：正切函数在开区间内都是增函数.五、作业布置课本P95练习6.23，4，5练习册6.2A组