部分 机械系统弹性动力学基础

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1、连续系统的振动弦的振动杆的轴向振动圆轴的扭转振动梁的横向振动在分析时，假定材料是均匀连续和各向相同性的，服从胡克定律，运动是微幅的，是一个线性系统。此外，为了简化，将不考虑系统的阻尼。第一节弦的振动在工程中常遇到真能承受拉力而抗弯曲及压缩能力很弱的构件：如钢索、电线、电缆、皮带等。这类构件的振动问题称为弦的振动如图4-1（a）所示为两端固定用预紧力F0拉紧的弦。在初始干扰下，弦作横向自由振动，弦上各个点的位移y是坐标x和时间t的函数，因此，位移曲线可以表达为设弦为均质，密度为ρ、截面积为A。在弦上x处取微分

2、段dx，其质量为考虑到F0远大于弦的重力，对于微振动来说，假设个截面处的张力均相等，且等于初张力F0。微段左右手两个大小想的但方向不同的张力，如图4-1（b）所示。由牛顿定律可写出沿y方向的运动微分方程化简后得到设，a为波长沿弦长度方向传播的速度，则上式（4-1）就是均质弦横向振动的微分方程，通常称为波动方程。在多自由度系统振动分析时得知，在作主动振动各质点将作同样频率和相位的运动，各质点同时经过静平衡位置和达到最大偏离位置，即系统具有一定与时间无关的振动。连续系统也应具有这样的特性，故可假设（4-1）的解

3、为上式中：Y（x）表示弦的振型函数，仅为x的函数，而与时间无关；Ф（t）是弦的振动方式，仅为时间t的函数。移项后得式中x和t两个变量已分离。将（4-2）分别对时间t、x求而阶偏导后，代入（4-1），得两边都必须等于同一个常数。设此常数为-则可得两个二阶常微分方程式（4-4）形式与单自由度振动微分方程相同，其必为简谐振动形式它描绘出弦的主振动是一条正弦曲线，其周期为。将（4-6）、（4-7）代入（4-2）式中：C1、C2、ωn和φ为四个待定系数，可由两端的边界条件和振动的两个初始条件来决定。由（4-5）可解出

4、振型函数，得化简得式(4-11)即为振动的特征方程，即频率方程，其解为由于弦的两端固定，其边界条件为将(4-9)代入(4-8)得显然有从而可得弦振动的固有频率为式中:ωnk为第k阶的固有频率。该式表明有无穷多个固有频率，同时，对应无穷阶的主振型为从以上分析可以看出，作为连续系统的弦振动的特性与多自由度系统的特性是一致的。不同的事，多自由度系统的主振型是以各质点之间的振幅比来表示的，而弦振动中质点的数趋于无穷多个，质点振幅采用振型函数Y=（x）表示。对应主振型为在一般情况下，显得自由振动为无限多阶的叠加，即例

5、4-1求如图4-1（a）所示的弦振动的前三阶固有频率和响应的主振型，并作出主振型图。同样，将ωn1～ωn3代入（4-13），可得前三阶主振型解：将k=1，2，3代入式（4-13）即得到前三阶的固有频率为若以x为横坐标，Y(x)为纵坐标，并令Ck1=1（k=1，2，3）则可作出前三阶主振型，如图4-2（a）所示。图4-2中振幅式中为零的点称为节点，节点数随振型阶次而增加，第n阶主振型有n-1个节点。为了将连续系统与离散系统的动力学特性比较，现将弦离散成三个自由系统，如图4-2（b）所示。由m1=m2=m3=ρ

6、Al/4，k11=k22=k33=8F0/lk12=k21=k23=k32=-4F0/l，则三自由度系统振动微分方程为其特征方程的代数形式为解得固有频率为结果表明基频的误差约为5%,随着阶次的增加，误差更大。所以为了得到较精确的固有频率，应把离散的系统自由度增多，具体取多少自由度取决于对精度的要求。运用式（2-6），将ωn1～ωn3代入特征方程的矩阵形式，取得响应的主振型近似的三自由度系统的主振型用虚线在4-2（a）中。与连续系统的精确主振型比较，低阶的主振型是很接近的，随着阶次的增加，误差增大。第二节杆的

7、轴向振动在工程问题中，常见以承受轴向力为主的直杆零件，入连杆机构的连杆、凸轮机构的挺杆等，它们同样存在着沿杆轴线方向的轴向振动。其简化力学模型入图4-3。设杆的密度为ρ，截面积变化规律为A(x)，截面抗拉刚度为EA(x)。假设杆的横截面积在轴向振动过程中始终保持为平面，杆的横向变形也可以忽略，即在同一横截面上各点仅在x方向作相对位移，所以可用u（x，t）表示截面的位移，是x与时间t的函数。取微分段dx，如图4-3（b）所示其质量为左右截面的位移分别为故微分段的应变为两截面上的轴向内力分别为N和，对细杆，轴向

8、力可表示为由牛顿定律，可得该微分段的运动微分方程将（4-17）和dm代入上式，得式（4-18）表示变成截面直杆的轴向振动微分方程，若已知A(x)，即可求出此方程的解。对于等截面的均质直杆，A、E均为常数，式（4-18）可化简为记得到与弦振动方程式（4-1）相同的偏微分方程令式中：α为弹性纵波沿轴向的传播速度，m/s.式中C1、C2、ωn和φ为四个待定系数，可由两端的边界条件和振动的两个初始条件来决定。用类似与本章