机械系统弹性动力学

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1、1机械系统弹性动力学基础参赛选手：888825机械系统弹性动力学基础单自由度和多自由度动力学系统的自由度数是有限的，而本章涉及的弹性系统是连续系统，具有无限多个自由度。方法：解析法有限元法传递矩阵法3本章内容5.1弹性体振动5.2传递矩阵法5.3动力学问题有限元法5.4基于Ansys的弹性动力学分析45.1弹性体振动弹性体系统具有连续分布的性质，弹性体内任一质点的运动，不仅与时间有关，而且与位置坐标有关。因此需要用偏微分方程（PDE）来描述。5解：设张力T不变，则恢复力为所以微分方程为：故有建立

2、离散系统振动方程的方法:如图所示，以张紧弦上的集中质量振动为例6建立连续系统振动方程的方法:以直杆的纵向振动为例7由材料力学知8共同点：以牛顿定律为出发点。微元段的运动方程为95.1.1扭转自由振动如图所示，由材料力学得10微元段的平衡方程为代如整理得用分离变量法求解以上方程，设11求导可得整理得12上式左边是坐标的函数，右边是时间的函数，两边要想相等只能等于常数。令该常数为则有解以上两个方程得13因此可得到扭转振动的通解当边界条件已知时，可求出固有频率。14例5-1如图所示为一端固定的圆轴，试

3、求固有频率。解：根据题意知，左端位移为0，右端外力为0。故有边界条件如下15代入可得16固有频率为振型175.1.2梁的横向振动18192021222324255.2传递矩阵法5.2.1轴的纵向振动（集中质量法）26如图所示，一端固定的轴作纵向自由振动时，我们可把此轴分为n个单元，对每个单元用集中质量法研究。将每个单元简化为质量和弹簧，当单元足够小时，可以保证工程上所需的精度。取任一单元，用位移和力表示状态向量，则质量右端状态向量为质量左端状态为27由牛顿定律对于简谐振动故有28写成矩阵形式29

4、对于弹簧有用传递矩阵表示如下30综合上述关系，有Ci为第i个子结构的传递矩阵。31连续运用传递关系，有32边界条件为33频率方程为解方程可求固有频率345.2.2轴的扭转振动（集中质量法）如图所示，方向符合右手定律。35对图示扭转系统对旋转轮盘，点矩阵为36对扭转弹簧，场矩阵为综合可得传递矩阵为375.3动力学问题有限元法5.3.1引言有限元方法是20世纪中叶在电子计算机诞生之后，在计算数学、计算力学和计算工程料学领域诞生的最有效的计算方法。经过40年的发展不仅使各种不同的有限元方法形态相当丰富

5、，理论基础相当完善，而且已经开发了一批使用有效的通用和专用有服元软件，使用这些软件已经成功地解决了整机、机械、土建、桥梁、机电、造船、宇航、核能、地震、气象、水文、物理、力学、电磁学以及国际工程等领域众多的大型科学和工程计算难题，并且取得了巨大的经济和社会效益。38（1）有限单元法的基本思想有限单元法的基本思想是将问题的求解域划分为一系列单元，单元之间仅靠节点连接。单元内部点的待求量可由单元节点量通过选定的函数关系插值求得。由于单元形状简单，易于由平衡关系或能量关系建立节点量之间的方程式，然后将

6、各个单元方程“组集”在一起而形成总体代数方程组、计入边界条件后即可对方程组求解。单元划分越细，计算结果就越精确。39（2）有限元计算步骤1离散化；2单元分析；3单元合成；4求解；5分析结果。简言之：“一分一合”40（3）有限元法的基本方法和理论1直接有限元方法；2虚功原理方法；3能量变分原理方法；4迦辽金方法（加权残数法）。41有限元的数学含义：无论任何方法，静力有限元法要得到并求解如下方程：而动力有限元法要得到并求解如下方程：425.3.2一维有限元模型43建立单元动力学方程时，要求出质量矩阵

7、和刚度矩阵，首先需要确定单元运动模式，可参考静态位移模式进行。在振动方程中令时间为常数，即44所以有454647质量矩阵可以通过动能求得48质量矩阵可以通过动能求得49单元动能为50所以5152对于纵向振动，轴向单元如图所示53建立刚度矩阵和质量矩阵与扭转振动相似542.轴的横向振动如图为横向振动梁单元55单元刚度矩阵推导如下56575859606162635.4基于Ansys的弹性动力学分析5.4.1Ansys简介有限元方法是20世纪中叶在电子计算机诞生之后，在计算数学、计算力学和计算工程料学

8、领域诞生的最有效的计算方法。经过40年的发展不仅使各种不同的有限元方法形态相当丰富，理论基础相当完善，而且已经开发了一批使用有效的通用和专用有服元软件，使用这些软件已经成功地解决了整机、机械、土建、桥梁、机电、造船、宇航、核能、地震、气象、水文、物理、力学、电磁学以及国际工程等领域众多的大型科学和工程计算难题，并且取得了巨大的经济和社会效益。目前常用的商品化软件有：Ansys，Nastran，Adina，Marc等。6465ANSYS中处理器有66675.4.2分析过程与实例68例1：弹簧—质量