参数方程与极坐标2

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1、极坐标与参数方程部分高考题选第4页共4页一、曲线的参数方程参数方程的定义：在给定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t函数,…①并且对于变数t的每一个容许值，由方程组①所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么方程组①就叫做这条曲线的参数方程，联系x,y之间的变数叫做参变数，2.参数方程与普通方程的互化：必须保持互化前后的等价性不变。参数选择的不同，曲线的参数方程的形式也不一样。也不是所有的参数方程都能用初等方法化为普通方程。3.常见的曲线的参数方程：①通过点M0(x0,y0),倾斜角为的直线的参数方程。（t为参

2、数）方程中的参数t有明显的几何意义，它是直线通过点M0(x0,y0)、M(x,y)的有线段的数量，即M0M=t,，当点M在点M0上方时，t＞0,点M在点M0下方时t＜0，点M与点M0重合时t=0。若点P1,P2都在直线上，对应的参数分别t1,和t2时，则

3、P1P2

4、=

5、t1-t2

6、，P1,P2中点对应的参数t=(t1+t2)。②通过点M0(x0,y0),斜率为的直线的参数方程：…②（t为参数）特殊地：直线不存在斜率时，直线的参数方程也具有上述形式。但是此时方程②已不具有数量的意义，a,b可以视为质点做直线运动的水平、竖直分速度，t

7、则是时间，当t＜0对应着质点到达M0(x0,y0),之前的时间。如果直线上不同的两点对应的t值分别为t1,和t2时，则其长度t2-t1

8、.显然参数方程①是参数方程②的特例。③圆的参数方程：（为参数）④椭圆的参数方程：（为参数）⑤双曲线参数方程：（为参数）⑥抛物线的参数方程：（t为参数）容易错的问题：已知曲线的参数方程为：极坐标与参数方程部分高考题选第4页共4页，P为曲线上一点，又已知=，则点P的坐标是：二、极坐标系:平面上任意一点的位置，可以由线段OM的长度和从ox轴到OM的角度来刻画，这两个数组组成的有序实数对（，）称为点M的极

9、坐标，称为极径，称为极角。极坐标与直角坐标的互化：x=cos,y=sin在极坐标系中画出点的图形，先画出极角的终边，再截取满足题意的极径，然后写出序实数对（，）圆的极坐标方程：1.圆心在原点，径为r的圆的极坐标方程，=r。2.圆心在（a,0），半径为a的圆的极坐标方程，=2acos。3.圆心在（a,），半径为a的圆的极坐标方程，=2acos(-)=2asin4.圆心在（a,），半径为a的圆的极坐标方程，=2acos(-)=-2acos5.圆心（a,），半径为a的圆的极坐标方程，=2acos(-)=-2asin注意：方程.3.4.5

10、可以认为是方程2的图形按逆时针旋转得到。圆的极坐标方程的一般形式可以由余弦定理得到：+直线的极坐标方程：一般的直线的极坐标方程设OM=m,OM与极轴成的角为，点P的极坐标是极坐标与参数方程部分高考题选第4页共4页，在中可得：，就是习题类型：1.方程表示的图形及其位置关系:例1在极坐标系中，点P到直线=1的距离是例2;大连市高三第三次联考，两条曲线的极坐标方程分别是和，它们相较于A,B两点，求线段AB的长，解：原方程化为：,，几何意义立得答案线段AB的长为1另外，由公共弦AB的方程为两个圆方程的差2.坐标系的互化3.求曲线的参数方程

11、和极坐标方程例如1：2010哈尔滨三中高三第二次模拟考试∠,角内有一动点P满足，于点M,,于点N，且四边形PMON的面积为1，现已O为极点，的平分线为极轴0X，建立极坐标系，求动点P的轨迹方程，并说明是什么曲线。（在角内的部分）由面积关系得：（在角内的部分）。例2．【2010•辽宁理数】已知P为半圆C：（为参数，）上的点，点A的坐标为（1,0），O为坐标原点，点M在射线OP上，线段OM与C的弧的长度均为。（I）以O为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M的极坐标；（II）求直线AM的参数方程。极坐标与参数方程部分高考题选第4页

12、共4页解：（Ⅰ）由已知，M点的极角为，且M点的极径等于，故点M的极坐标为（，）.（Ⅱ）M点的直角坐标为（），A（1,0），故直线AM的参数方程为（t为参数），或者解：