线性规划难题集锦解析版

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1、线性规划难题集锦解析版221．过平面区域内一点P作圆O：x+y=1的两条切线，切点分别为A，B，记∠APB=α，则当α最小时cosα的值为（）A．B．C．D．【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据数形结合求确定当α最小时，P的位置，利用余弦函数的倍角公式，即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，要使α最小，则P到圆心的距离最大即可，由图象可知当P位于点D时，∠APB=α最小，由，解得，即D（﹣4，﹣2），此时

2、O

3、D

4、=，

5、OA

6、=1，则，即sin=，22此时cosα=1﹣2sin=1﹣2（）=1﹣=，故选：C【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键，要求熟练掌握两角和的倍角公式．第1页共47页2．设m∈R，实数x，y满足，若

7、2x+y

8、≤18恒成立，则实数m的取值范围是（）A．﹣3≤m≤3B．﹣6≤m≤6C．﹣3≤m≤6D．﹣6≤m≤0【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有【专题】31：数形结合；4R：转化法；59：不等式的解法及应用．【分析】将不等式恒成立问题转化为平面区域在两条直线之

9、间利用数形结合进行求解即可．【解答】解：由

10、2x+y

11、≤18得﹣18≤2x+y≤18，若

12、2x+y

13、≤18恒成立，等价为不等式组对应的平面区域都在直线2x+y=18和2x+y=﹣18之间，即对应的两个直线（红色）之间，作出不等式组对应的平面区域如图，由得，即A（6，6），此时A满足条件.2x+y=18，由得，即B（﹣，﹣3），要使不等式组对应的平面区域都在两条直线之间，则直线y=m满足在直线y﹣=﹣3和y=6之间，则﹣3≤m≤6，故选：C第2页共47页【点评】本题主要考查线性规划的应用，将不等式恒成立转化为

14、平面区域在两条直线之间是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．3．若存在正实数x，y，z满足≤x≤ez且zln=x，则ln的取值范围为（）A．[1，+∞）B．[1，e﹣1]C．（﹣∞，e﹣1]D．[1，+ln2]【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；53：导数的综合应用．【分析】由已知得到ln=，求出的范围，利用函数求导求最值．【解答】解：由正实数x，y，z满足≤x≤ez且zln=x，得到，∈[，e]，ln=，设t=，则，t∈[，2]，f'（t）=

15、，令f'（t）=0，得到t=1，所以当时，f'（t）＜0，函数f（t）单调递减；当1＜t≤2时，函数f（t）单调递增；当t=1时函数的最小值为f（1）=1+ln1=1；第3页共47页又f（2）=+ln2，f（）=e﹣1，．又f（）﹣f（2）=e﹣ln2﹣＞e﹣lne﹣=e﹣2.5＞0，所以f（）＞f（2），所以ln的取值范围为[1，e﹣1]；故选B．【点评】本题考查了利用函数的思想求范围问题；关键是将所求转化为已知自变量范围的函数解析式，利用求导得到最值．属于难题．4．已知变量x、y满足约束条件，且z=x+

16、2y的最小值为3，则≥的概率是（）A．B．C．D．【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；49：综合法；5T：不等式．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程斜截式，得到当直线得z=x+2y截距最小时z最小，求出可行域内使直线截距最小的点的坐标，代入x=a求出a的值，利用≥的几何意义，转化求解概率即可．【解答】解：由变量x、y满足约束条件画出可行域如图，第4页共47页由z=x+2y的最小值为3，在y轴上的截距最小．由图可知，直线得z=x+2y

17、过A点时满足题意．联立，解得A（3，0）．A在直线x=a上，可得a=3．则≥的几何意义是可行域内的点与Q（﹣1，0）连线的斜率超过，由图形可知：直线x=3与直线x﹣2y+1=0的交点为：（3，2），直线x﹣2y+3=0与x=3的交点（3，3），∴则＜的概率：=，则≥的概率是：1﹣=．故选：D．【点评】本题考查了简单的线性规划，训练了数形结合的解题思想方法，是难题．225．已知实数x，y满足x+y≤1，3x+4y≤0，则的取值范围是（）A．[1，4]B．[，4]C．[1，]D．[，]【考点】7C：简单线性规划

18、．菁优网版权所有【专题】11：计算题；31：数形结合；34：方程思想；35：转化思想．22【分析】画出x+y≤1，3x+4y≤0，表示区域，化简目标函数，利用目标函数的几何意义，求解即可．22【解答】解：实数x，y满足x+y≤1，3x+4y≤0，表示的区域如图：则==，表示阴影区域与（3，1）连线的斜率，解得A（，﹣）．B（﹣，），kPB==则==，令y﹣1=k（x﹣3），可得kx﹣y﹣3k+1=0，第5页共47