第4章扭转变形

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1、第四章扭转§4-1扭转的概念工程问题中，有很多杆件是受扭转的。自行车的中轴受扭转。齿轮传动示意图受力特点：圆截面直杆受到一对大小相等、转向相反、作用面垂直于杆的轴线的外力偶作用（矢量与轴线一致）MMee变形特点：圆杆各横截面绕杆的轴线作相对转动工程中主要承受扭转的构件称为“轴”，实际构件工作时除发生扭转变形外，还常伴随有弯曲、拉压等其他变形形式。§4-2传动轴的外力偶矩·扭矩及扭矩图Ⅰ、传动轴的外力偶矩已知：MeM传动轴的转速en；所传递的功率P(kW)AB求：作用在该轮上的外力偶矩Me。传动轮的转速n、功率P及其上的外力偶矩M之e间的关系：P(

2、kW)M=9549P=Mωen(r/min)PM=PM=7024(N⋅m)(P—马力)eωnⅡ、扭矩及扭矩图利用截面法来确定.圆轴受扭时其横截面上的内力偶矩称为扭矩，用符号T表示。1T=Me1扭矩的符号规定按右手螺旋法则确定:扭矩矢量离开截面为正，指向截面为负。仿照轴力图的做法，可作扭矩图，表明沿杆轴线各横截面上扭矩的变化情况。Me1MeA1BM1eTxT=MeA11MeTT1BMe+T图x例一传动轴如图，转速n=300r/min；主动轮输入的功率P=500kW，三个从动轮输出的功率分1别为：P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW。

3、试作轴的扭矩图。解：首先必须计算作用在各轮上的外力偶矩M21M32M13M4A1B2C3D500M=(9549×)N⋅m=159.kN⋅m1300150M=M=(9549×)N⋅m=.478kN⋅m23300200M=(9549×)N⋅m=.637kN⋅m4300分别计算各段的扭矩M21M32M13M4A1B2C3DM21Tx1T=−M=−.478kN⋅m121AM2M32T2=M2+M3T2x=9.56kN⋅mB2A3M4T3T3=M4=.637kN⋅mx3D扭矩图M2M3M1M4ABCD6.374.78T图(kN·m)9.56T=9.56kN

4、·m在CA段内max§4-3圆轴扭转时的应力·强度条件一、扭转试验与假设：表面变形特点：1、相邻圆周线绕杆的轴线相对转动，但圆周的大小、形状、间距都未变；2、纵向线倾斜了同一个角度γ，表面上所有矩形均变成平行四边形。平面假设：圆轴受扭转时其横截面如同刚性平面一样绕杆的轴线转动。γϕAAD1D1γDBCAD'1D'B1C1CC'B1表面正方格子倾斜的角度—C'直角的改变量γ切应变横截面上没有正应力产生，只有切应力，方向与圆周相切，即与半径垂直。二、横截面上的应力公式几何关系物理方面静力学方面A、几何关系abO1O2abdxMeMeγabTTdxρE

5、O1γGO2ρEO1γGO2ρddρADϕADdϕγG'γG'D'D'abdxGG′ρdϕ'Rdγρ≈tanγρ==DD×ϕEGdxγ≈tanγ==ADdxabTTdxρEO1γGO2dρEO1γGO2ρdρADϕADdϕγG'γG'D'D'abdxdϕγ=ργ∝ρρdxρdϕ相对扭转角沿杆长的变化率，对于给dx定的横截面为常量dϕγ=ρB、物理方面ρdx剪切胡克定律：（在弹性范围内，切应力与切应变成正比。？横截面上各点的τ=Gγdϕ剪应力与点到截τ=Gρτ∝ρρdxρ面中心的间距成正比，即切应力沿截面的半径呈线性分布。Oddϕτ=GρC、静力学

6、方面ρdxρdϕ2∫τdA=TGρdA=TAρ∫dxA2令Ip=∫ρdA称为横截面A的极惯性矩dϕT得=dxGIpTρOrτdAρdϕT=dxGIp⎛T⎞Tρτ=Gρ⎜⎟=dρ⎜⎟ϕGII⎝p⎠pτ=Gρρdx圆轴扭转时横截面上切应力计算公式：Tρτ=ρIpTτmax1、T为横截面上的扭矩ρ2、I为截面参数，取决于截pO面形状与尺寸ττmaxρ3、ρ为所求点距圆心距离。d最大切应力ρ=rTτmaxTrTTρ=τ==maxII/rWpppOττmaxρIp令W=称为扭转pdr截面系数Tτ=即maxWp发生在横截面周边上各点处。同样适用于空心圆截面杆

7、受扭的情形TτmaxTρτ=ρτIρpdOτmaxρTτ=maxWpD圆截面的极惯性矩Ip和扭转截面系数Wp—几何性质实心圆截面：ρdρdρDdρdOO442πd2πD4Ip=∫ρdA=Ip=∫ρdA=()1−αAA32323IpπdIπD3W==p()4pWp==1−αd2/16D/2164-4圆轴扭转强度条件与合理设计一、扭转失效低碳钢扭转破坏塑性材料扭转失效时，先发生屈服，最终沿横截面断裂。铸铁扭转破坏脆性材料扭转失效时，变形很小，最终沿与轴线成45°螺旋面断裂。4-4圆轴扭转强度条件与合理设计一、扭转失效对于塑性材料：τ=τusτu[τ]

8、=n对于脆性材料：τu=τb对于塑性材料：[τ]=5.0(−.0577)[σ]对于脆性材料：[τ]=8.0(−0.1)[σ]二、强度条件