扭转应力及变形

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1、第三章第三章扭扭转转§§33--44圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力§§33--55圆轴扭矩的变形圆轴扭矩的变形§§33--66圆轴扭转时的强度与刚度圆轴扭转时的强度与刚度§§33--44圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力★分析思路：静力关系实验观察应力内力分布几何关系变形几何规律物理关系一、实验观察一、实验观察abcd1）在圆轴的外表面上纵向作平行直线abcd2）在圆轴的外表面上横向作平行圆周线3）在圆筒的两端加上静载外力偶矩M，观察变形。3）在圆筒的两端加上静载外力偶矩M，观察变形。MMa′b′c′d′aba′b′4）观察变形cdc′d′abcd→a′b′c′d′ac、bd代表

2、的是两个横截面提出假设：横截面似一刚性平面，在外力偶矩作用下绕轴转过一定的角度，仍维持为圆截面。平面假设成立!观察到的变形：aba′b′1）平面假设成立cdc′d′2）轴向无伸缩3）纵向线变形后仍为平行直线4）横截面上同一圆周上所有的点绕轴心转过相同的角度二、变形几何规律二、变形几何规律MMxdxddRρabAAxxb′A′A′cddxd′dx取一小段dx圆轴研究之，如上图示ddRρabAAxxb′A′A′cddxd′dx1）dx小段上，两个横截面相对转过的角度d2）abcd→a′b′c′d′，则产生γ的角变形3)在dx小段的内部，半径为ρ的位置上，产生的角变形

3、ddRρabAAxxb′A′A′cddxd′dxbbdxd'外表面上：b→b′Rbb'RddxAA'dxd内部A：A→A′AA'ddxddRρabAAxxb′A′A′cddxd′dxd★变形几何规律：dxd★---单位长度上横截面的相对扭转角dxd★同一截面上（选择了参考面后），相同dx三、物理关系三、物理关系当时G（剪切胡克定律），dGdx剪应力分布规律：1）同一截面上，与成正比，即沿半径线线性分布2）同一截面上，在同一圆周上有相同的大小。3）从变形可以看出，没有长

4、度的变化，只有相对的转动，横截面上点沿圆周线位移，与半径线垂直，且顺着T的方向。dRabATxb′A′cdd′dxTτ五、静力关系五、静力关系横截面上内力系合成的结果Tτ内力合力TxTdAdATTDTxdAdADTTdTdAGdAdxAd2GdAdxA2令IPdA横截面对形心的极惯性矩2IdAP仅与图形的面积分布有关而与外界条件无关，反映截面性质的量。ddTTGIPdxdxGIPdTGdxIPTRTmaxIWPtIPW抗扭截面系数，与截面的大tR小、形状、尺寸等有

5、关。六、公式的适用范围六、公式的适用范围1、圆轴扭转2、弹性范围内maxp五、五、IIP、、WWt的计算的计算d1、实心圆轴R22IdA2dP01414RD23213DWDt16R122442、空心圆轴IdA2d(Rr)Pr2144144(Dd)D(1)32321d34WD(1)t16D例题1实心圆轴的直径d=100mm，长L=1m，两端受力偶矩m=14KN.m作用，设材料的剪变模量G=80×109N/m，求：1）最大剪应力τ；max2）图示截面上A、B、C三点剪应力的数值;3）若将圆轴在保持截

6、面面积A相同时改为d/D=1/211的空心圆轴，其最大剪应力τ。maxmmABC解：1）T=m=14KN.m3T1410671.310(Pa)maxW13tD16A2)71.3MPaBAC71.3MPaB171.3MPa35.7MPac22223)A相同，空心率d1/D1=1/2D1d110012Dmmd100(mm)1100()133134WD(1)t11613DW16maxt0.693maxWt134D(1)1160.69371.349.4(MPa)max最大应力下降了30.7%！思考:空心圆截面剪应力怎

7、样分布?OOTTOT§§33--55圆轴扭转时的变形圆轴扭转时的变形一、相对扭转角：一、相对扭转角：两个一定距离的截面在外力偶作用下产生的扭转变形，即相对转过的角度。用表示。dTTdxdxGIPGIlP1）T不同分段积分2）材料不同，分段积分3）截面不同，分段积分4）若在某一范围内T一样，截面一样，材料相同，则TlGI----材料的抗扭刚度PGIP二、单位长度上的相对扭转角二