正项级数及其敛散性判别

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1、§9.2正项级数及其敛散性判别一.正项级数的概念二.正项级数敛散性的判别法1一.正项级数的概念则称此级数为正项级数.定义9.2.1若数项级数中的各项因为对任意均有各项,则于是正项级数的部分和数列是一个单増数列,即2证“充分性”“必要性”从而正项级数收敛.存在,收敛,则若存在,由数列单调有界准则知极限定理9.2.1正项级数收敛的充要条件是部分和数列有上界.由收敛数列的有界性定理知,有上界.正项级数发散的充要条件是部分和数列无上界.此定理的等价命题:从而正项级数发散.”其等价命题是:“若无上界,则3例1判定p级数的敛散

2、性.(2)当p≤1时,因为解（1）当时,级数为调和级数,发散.所以发散,则p级数发散.4(3)当p>1时,设于是收敛.5结论:如何判别正项级数的敛散性是讨论正项级数的基本问题,直接利用上述定理来判别,即讨论部分和数列是否有上界是非常困难的.因此,需要建立其它敛散性的判别法.例1判定p级数的敛散性.6设两个正项级数定理9.2.2(比较判别法)应项满足:二.正项级数敛散性的判别法则(1)当级数也收敛;收敛时,级数（大收小收）(2)当级数发散时,级数也发散.（小发大发）的对1.比较判别法7证设部分和分别是故级数收敛.故级

3、数发散.(1)当级数收敛时,则(2)当级数发散时,1nnu¥=å8注1因级数增加或去掉有限项不影响它的敛散性.故定理中的不等式不一定从首项就开始面满足.注2当级数收敛时,不一定有级数收敛.发散时,不一定有级数发散.当级数例如,发散，而收敛.9注3应用比较判别法时,须找合适的已知敛散性的级数作为参考级数.重要参考级数:几何级数,p-级数,调和级数..例2判定级数的敛散性.解收敛,因为则级数收敛.10例3判定级数的敛散性.解则级数发散.发散,因为11设两个正项级数推论9.2.1c>0，使得从某项(如第N项)起满足,如果

4、存在常数则(1)当级数也收敛;收敛时,级数(2)当级数发散时,级数也发散.12定理9.2.3(比较判别法的极限形式)若两个正项级数满足:(1)当01时

5、,级数发散;(3)当l=1时,级数可能收敛,也可能发散.17(1)当l<1时,则对任意的ε>0且满足证则收敛.从而在它前面增加N项的级数也收敛.收敛,18(2)当l>1时,则对任意给定的ε>0且满足则当n>N时,后项un+1始终大于前项un发散.19但当p>1时,p级数收敛;当p≤1时,p级数发散.比如p级数无论p取何值,均有(3)当l=1时,级数可能收敛,也可能发散.20例7判定级数的敛散性.故原级数收敛.解21故原级数发散.解例8判定级数的敛散性.22解比值审敛法失效,改用比较审敛法例9判定级数的敛散性.23定

6、理9.2.5(柯西根值判别法)若正项级数满足则(1)当0≤l<1时,级数收敛;(2)当l>1时,级数发散;(3)当l=1时,级数可能收敛,也可能发散.3.根值判别法24证收敛。25例10判定级数的敛散性.解26的敛散性.例11讨论级数解因为故原级数收敛.由根值判别法知：(1)当，即时，级数收敛；(2)当，即时，级数发散；27此时原级数为,原级数发散；(3)当，即时，不能判定级数的敛散性。综上所述，当时，级数收敛；当时，级数发散；28