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1、第八讲常数项级数敛散性的判别一、正项级数敛散性的判别设是正项级数，若,则发散。若,则可能收敛也可能发散。可按照下面的思路判别其敛散性。(1)如果通项包含有n！之类的因子，或关于n的若干因子连乘形式，则用比值判别法，即，则当时收敛，当时发散。如果不易计算，或不存在，或存在为1，则适当放大,使得，并对应用比值判别法，如果收敛，则收敛；或者适当缩小，使得，并对应用比值判别法，如果发散，则发散。(2)如果通项包含有n或关于n的函数为指数的因子，则用根值判别法，即，则当时收敛，当时发散。如果不易计算，或不存在，或存在为1，则适当放大,使得，并对应用根值判别法，如
2、果收敛，则收敛；或者适当缩小，使得，并对应用根值判别法，如果发散，则发散。(3)当不是以上情形时，寻找时的等价无穷小，可利用等价无穷小的常用公式和麦克劳林展开式，得到，等价的通项，两级数应具有相同的敛散性。所以当时收敛；当时发散。若,常用积分判别法判别的敛散性。即与具有相同的敛散性。因此有当或时，收敛；当或时，发散。例1判别下列正项级数的收敛性(1)(2).解：记，则由，知收敛。(2)记，则.因此收敛。例2判别下列正项级数的收敛性(1)(2)解：(1),不易计算,适当放大，由比值判别法,因此收敛。(2),不易计算,适当放大，，由根值判别法,因此收敛。例
3、3判别下列正项级数的敛散性(1)(2)解：此例用比值法或根值法都不易得到它们的敛散性，故寻找时的等价无穷小。(利用等价无穷小的常用公式和麦克劳林展开式).(1)记，则由等价无穷小的常用公式和麦克劳林展开式由于发散，故发散。(2)，则当时，由于收敛，故收敛。例4根据的取值讨论的敛散性解：记，令所以，从而当时,即时收敛，当时发散。例5判别下列正项级数的敛散性(1);(2)解：(1)由于，所以。由积分判别法，因为所以发散，从而发散。(1)记，，而当时,收敛，当时,发散。故当时,收敛；当时,发散。二、任意项级数敛散性的判别设是任意项级数敛，若,则发散。若,则可
4、能收敛也可能发散。可按照下面的思路判别其是绝对收敛或是条件收敛。(1)若收敛，则绝对收敛；(2)如果发散，且是由正项级数比值法或根值法判定的，则发散;(3)如果发散，但不是由正项级数比值法或根值法判定的，当是交错级数，且满足莱布尼茨条件时，条件收敛；当不是交错级数，或虽是交错级数但不满足莱布尼茨条件时，将通项表示成几项之和，例如，于是当绝对收敛而条件收敛，则条件收敛；当收敛而发散，则发散。例1判别级数的收敛性。解：记，令，,所以，其中因为条件收敛，绝对收敛，所以条件收敛。例2根据的取值讨论的敛散性解：记，令，,所以有当时,条件收敛，而发散,所以发散；当
5、时,条件收敛,而绝对收敛,所以条件收敛；当时,与都绝对收敛，因此绝对收敛。故时，发散；当时,条件收敛；当时,绝对收敛。三、抽象级数的收敛性基本思路：(1)收敛存在；(2)收敛.例1设级数收敛，且，证明：级数收敛，且。证：记两边令，得，由此证得级数收敛，且。注：要证明形如的级数收敛，通常要估算它的前项和，证明它有界或存在极限。例如：证收敛，条件是正项数列单调增加有上界。例2（1）当级数绝对收敛，级数收敛时，绝对收敛；（2）当正项级数收敛，收敛时，绝对收敛。证：欲证绝对收敛，通常的思路是证明：，其中一个级数的通项是有界的，而另一个级数是绝对收敛。（1）由级
6、数收敛知，存在M>0，使得，于是，再由级数绝对收敛的条件，由比较判别法，即得绝对收敛。（2）由收敛，记其和为A，则，从而存在M>0，使得，于是，且绝对收敛，所以绝对收敛。例3证明：如果，则级数发散。证：当时，可以认为，即是正项级数。由题设条件,则对任意给定的，存在正整数N，当n>N时，有,即，从而发散。当时，则,同理发散,从而也发散。三、幂级数的收敛半径例1求幂级数的收敛域。解：由于容易算出的收敛区间为(-1,1),当时，发散，当时，条件收敛，所以的收敛域为(1,1];的收敛区间为(-1,1),当时，都绝对收敛，所以的收敛域为[1,1],于是两个幂级数
7、收敛域的公共部分为(1,1]。它即为所给幂级数的收敛域。
