正项级数敛散性的判别(IV)

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1、——一元微积分学大学数学（一）第2节正项级数敛散性的判别第七章无穷级数第二节正项级数敛散性的判别常数项级数正项级数交错级数任意项级数一般项级数一.正项级数的审敛法正项级数收敛的充要条件比较判别法比值判别法根值判别法1.正项级数的定义若级数则称之为正项级数.定义2.正项级数收敛的充要条件正项级数{Sn}有界.定理7.1级数是否收敛？该级数为正项级数,又有(n=1,2,…)故当n1时,有即其部分和数列{Sn}有界,从而,级数解例13.正项级数敛散性的比较判别法且0unvn(n=1,2,…)大收小收,小发大

2、发.记0unvn(n=1,2,…)0SnGn证(1)记0unvn(n=1,2,…)0SnGn证(2)判断级数的敛散性.(00)的敛散性.当p＝1时,P级数为调和级数:它是发散的.当01时,按1,2,22,23,…,2n,…项而对P级数加括号,不影响其敛散性：……………………………………故当p>1时,P级数收敛.综上所述:当p>1时,P级数收敛.当p

3、1时,P级数发散.4.比较判别法的极限形式由于(0<<+)故>0,N>0,当n>N时,不妨取运用比较判别法可知,具有相同的敛散性.证(1)当0<<+时,由于(=0)取=1时,N>0,当n>N时,故由比较判别法,当=0时,证(2)由于(=)M>0(不妨取M>1),即由比较判别法,证(3)故N>0,当n>N时,当=时,0vn0为常数).因为(即=1为常数)又是调和级数,它是发散的,发散.解原级数故例45.比值判别法(1)<1时,级数收敛；(

4、2)>1(包括=)时,级数发散；(3)=1时,不能由此断定级数的敛散性.利用级数本身来进行判别.判别级数的敛散性,其中,x0为常数.即=x2解记则例5当0<

5、x

6、<1时,<1,级数收敛.当

7、x

8、>1时,>1,级数发散.当

9、x

10、=1时,=1,但原级数此时为这是n=2的P级数,是收敛的.综上所述,当0<

11、x

12、1时,原级数收敛,当

13、x

14、>1时,原级数发散.由达朗贝尔比值判别法知该正项级数收敛.由级数收敛的必要条件得例6解6.柯西根值判别法(1)<1时,级数收敛；(2)>1(包括=)

15、时,级数发散；(3)=1时,不能由此断定级数的敛散性.解例7判别的敛散性.(x>0,a>0为常数)记解即当x>a时,当0