正项级数敛散性判别方法探析

《正项级数敛散性判别方法探析》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、正项级数敛散性判别方法探析摘要：本文主要通过比值审敛法、根值审敛法、比较审敛法及其极限形式判别、等价无穷小代换法等方法对正项级数的敛散性的判别进行了探讨。关键词：正项级数敛散性判别【中图分类号】0122.7【文献标识码】A【文章编号】1671-8437（2012）02-0007-02级数是高等数学的一个重要组成部分，它在表示函数、研究函数的性质以及进行数值计算等方面成为一种重要的工具，在科学技术领域有广泛的应用。设给定数列ul,u2,…un,…，则式子ul+u2+…+un+…称为常数项无穷级数,简称数项级数或级数，记作un,un=ul+u2+…+un+…,其中un称为级数的一般项或通项。如果

2、级数un的各项unNO,n=l,2…，则称此级数为正项级数。用级数收敛和发散的定义以及级数的性质可以判断级数是否收敛，但求部分和及其极限并非易事，因此需要找寻一些级数敛散性的判别法。下面笔者将介绍几种常用的正项级数的审敛法。一、比值审敛法定理：设un是正项级数，如果二P,贝叽1）当P1（或=°°）时，级数发散；3）当P=1时，级数可能收敛，也可能发散。该判别法的特点是利用级数本身前项与后项之比的极限判别其收敛性，不需另找比较级数。当正项级数的一般项un中含有n!,nn,sinxn或cn（c为常数）等因子时，用比值审敛法比较简单。这是因为在un+1/un中能使阶乘符号、n次無消失，且对于nn,

3、sinxn往往能利用两个重要极限求其极限。此外，一般项为分式形式时，也常用比值审敛法判别之。例1、判定下列级数的敛散性：1）;2）；解：1）因为=（1+）n,所以=（1+）n=e>l,由比值审敛法知，所给级数发散。2）因为==0,判别级数的敛散性。解：因为=•==0,01；所以当01时，原级数发散。二、根值审敛法（柯西判别法）定理：设un是正项级数，如果二P,贝！］:1）当P1（或=+°°）时，级数发散；3）当P=1时，级数可能收敛，也可能发散；当一般项un中含有n!或n的方幕，或含有n出现在指数上的因子时，常用此法判别其敛散性。判别时常用到下述极限：=1（a>0为常数）；=+°°；=lo例

4、3、判别下列级数的敛散性：1）;2）；解：1）因为==0,而｛an｝是单调递增有界的正项数列。解：因为｛cm｝是单调递增有界的正项数列，所以必有极限，设an=a>0o由==知，若ba,则>1,原级数发散；若b=a,贝上1,注意到an单调递增，从而单调递减，有21,即u$l,—般项不趋于0,原级数发散。三、比较审敛法及其极限形式判别之定理：设un和设vn都是正项级数，且unWvn（n=l,2…）,则：1）如果级数vn收敛，则级数un也收敛；2）如果级数un发散，则级数vn也发散。用比较审敛法时，需找出一个作比较用的比较级数，当待判敛散性的级数的一般项中含有已知其收敛或发散的级数的一般项时，可试

5、取此级数作为比较级数。常用做比较的级数有级数（P>1时收敛,pWl时发散），等比级数arn（

6、r

7、Inn（n为自然数）等。例5、判定级数的敛散性；解:因为un=n（n=l,2…）,所以1,即〉（n=l,2…）因级数发散，故级数发散。四、等价无穷小代换法等价无穷小代换法是正项级数审敛的一种常用方法，其理论根据是比较审敛法的极限形式，该法的实质是比较无穷小量的阶，当无穷小用其等价无穷小代换时，其阶是不会改变的。因此用等价无穷小代换后得到的级数与原级数有相同的敛散性，而前者的敛散性却较易判别。例7、判定下列级数的敛散性：1)nsin；2)tanT解：1)因为当n-*00时，un=nsin〜n•二，

8、且发散，所以原级数nsin发散。2)因为当n~*8时，un=tan-l〜-1〜，且收敛，所以原级数tan~l收敛。例8、判别正项级数In的敛散性。解：nf00时，In(1+)〜，而一般项In(1+)〜因收敛，故原级数In收敛。