完全平方公式拓展

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1、完全平方公式拓展教学设计涿州市实验中学宋振东1、全日制普通初级中学教科书人教版第14章第2节选学内容阅读与思考杨辉三角2、课前准备：印发学案（学生每人一份）；制作ppt课件；制作立体杨辉三角模型。杨辉三角一、教材背景分析1、《杨辉三角》选自全日制普通初级中学教科书人教版第14章第2节的选学内容--阅读与思考。教科书将二项式系数规律的探究与“杨辉三角”结合起来，是因为“杨辉三角”蕴含了丰富的内容，由它可以直观看出二项式系数的规律，“杨辉三角”是我国古代数学重要成就之一，显示了我国古代人民的卓越智慧和才能，借此对学生进行爱国主义教育，激发学生的民族自豪感

2、。本节内容以完全平方公式为基础，引导学生建立二项式系数与“杨辉三角”之间的直觉，并探索其中的规律，利用几何直观、数形结合、特殊到一般的数学思想方法进行思考，这一过程有利于培养学生的思维能力、理性精神和实践能力，发展其数学应用意识。在初中阶段属于选学内容，用以激发学生兴趣，开阔视野。将来的高二数学中，二项式定理与杨辉三角是一对天然的数形趣遇，它把数形结合带进了计算数学。对高中学习微分方程等也具有重要地位，有承前启后作用。2．学情分析初二学生已学习完全平方公式，具备了一定的分析、探究问题的能力，恰当的问题引导能建立知识之间的相互关联，从而解决与杨辉三角相

3、关的简单问题。3．教学重点与难点重点：探索二项式系数与“杨辉三角”之间的联系；提高合情推理能力。难点：赋值法、数形结合、特殊到一般再到特殊的数学思想方法。二、教学目标1．使学生建立“杨辉三角”与二项式系数之间的直觉，并探索其中的规律，让学生感受我国古代数学成就和数学美，激发学生的民族自豪感.2．通过研究(a+b)n的展开式的规律，探索杨辉三角与其他数学对象之间的联系，培养学生的观察能力和归纳推理能力。3．通过体验“发现规律、寻找联系、探究验证、运用迁移、拓展质疑”的学习过程，体验应用数形结合、特殊到一般、赋值法等数学思想解决问题的“再创造”过程。4．

4、通过合作探究的学习方式，培养学生问题意识，提高学生思维能力，激发学生探索、研究我国古代数学的热情。三、教法选择和学法指导教法：问题引导、合作探究。学法：观察(a+b)n的展开式的规律与“杨辉三角”之间的联系，在探究合作中理解知识，螺旋上升地概括核心知识并渗透重要数学思想。四、教学基本流程设计（一）精准计算，探究规律。（二）数形偶遇，交相辉映。（三）赋值归纳，探究展示。（四）反馈升华，跨越联想。（五）悬念小结，深度求索。五、教学过程（一）精准计算，探究规律。（小黑板演示）1、应用公式或多项式乘法法则计算填空，并按字母a进行降幂排列。(a+b)1＝a+b

5、第（1）行(a+b)2＝a2+（）ab+b2第（2）行(a+b)3＝a3+（）a2b+3（）+b3第（3）行(a+b)4＝a4+（）a3b+（）a2b2+（）ab3+b4第（4）行(a+b)5＝第（5）行2、把上面等式右面每一项的系数排列成行，找出规律，写出第7、8行数字。11第（1）行121第（2）行1331第（3）行14641第（4）行15101051第（5）行1615201561第（6）行第（7）行第（8）行【设计意图】1、猜想是在对具体事例研究的基础上，通过类比或归纳得出具有普遍性的结论。猜想前所需经历的重要过程就是特例尝试，让学生先研究几个

6、特例，由特殊到一般，学生就可以提炼出合理化猜想的方法，从而提升学生猜想的能力。2、计算(a+b)n的展开式，降幂排列、整理系数为探究二项展开式系数的规律与“杨辉三角”埋下伏笔。（二）数形偶遇，交相辉映。1、上述三角形最早发现于我国南宋数学家杨辉所著《详解九章算法》一书（1261年），在我国通常称为杨辉三角形，法国数学家帕斯卡发现这一三角形是十七世纪的事，比杨辉晚了五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的。观察上面两图填空：（1）三角形的两条斜边上都是数字都是____，而其余的数都等于它肩上的两个数字______；杨辉三角每行都具

7、有_____性；第n行包含________个数。（2）(a+b)n的展开式共有n+1项，每项的次数_____；若按照字母a的降幂排列（也是按b的升幂排列），则各项的系数就是杨辉三角中第___行。2、请写出(a+b)6＝(a+b)7＝(a+b)8＝【设计意图】通过小组合作交流，探究规律，提升能力。（1）观察发现杨辉三角的规律，并且探究杨辉三角的第n行数字就是(a+b)n展开式系数，(a+b)n展开式的系数和杨辉三角都具有对称性和增减性。（2）培养学生合情推理能力、联想概况和迁移拓展能力；体会应用数形结合、特殊到一般等思想方法解决问题的“再创造”过程。（

8、三）赋值归纳，探究展示。1、杨辉三角中第一行数字之和为，第二行数字之和为；第三行的和为；第四行的和为；第n行