概率论与数理统计第九章方差分析与回归分析

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1、2021/7/24版权所有BY张学毅1第九章第一节单因素试验的方差分析2021/7/24版权所有BY张学毅2一、方差分析的有关概念1.方差分析（AnalysisofVariance，ANOVA）是一种检验多个正态总体均值是否相等的统计方法。2.因素的水平：指试验因素的某种特定状态或数量等级，简称水平。3.试验指标：衡量实验结果好坏程度的试验数据。在单因素方差分析中，将因素的任何一个水平看作是一个总体，该水平下试验得到的数据可看成是从总体中抽出的一个样本。若方差分析中考察的因素只有一个时，称为单因素方差分析；若同时研究两个因素对试验指标的影响时，则称为两因素试验。同时针对两

2、个因素进行，则称为双因素方差分析。2021/7/24版权所有BY统计学课程组3二、单因素方差分析的数据结构2021/7/24版权所有BY张学毅4因素A水平A1水平A2…水平As12:2021/7/24版权所有BY张学毅5表中：为第i个水平的第j个观测值。记第j个水平观测值的均值为,则有记所有观测值的均值为，则有2021/7/24版权所有BY张学毅6三、方差分析中的三个基本假设（1）各个总体都服从正态分布；（2）各个总体的方差都相等；（3）各个观测值之间是相互独立的。2021/7/24版权所有BY张学毅7四、单因素方差分析的数学模型由于则有单因素方差分析的数学模型1：202

3、1/7/24版权所有BY张学毅8四、单因素方差分析的数学模型记，为Aj的效应。则有单因素方差分析的数学模型2：2021/7/24版权所有BY张学毅9从散点图上可以看出：不同的水平的数据是有明显差异的；同一个水平的数据也明显不同；不同水平的观察值与试验指标值之间可能有一定的关系。3.仅从散点图上观察还不能提供充分的证据证明不同水平与试验指标值之间有显著差异。这种差异可能是由于抽样的随机性所造成的,也有可能是系统性影响因素造成的。五、方差分析的基本思想2021/7/24版权所有BY张学毅104.需要有更准确的方法来检验这种差异是否显著，也就是进行方差分析。5.随机误差因素的同

4、一水平(总体)下，样本各观察值之间的差异，可以看成是随机因素的影响，称为随机误差；6.系统误差因素的不同水平(不同总体)下，各观察值之间的差异可能是由于抽样的随机性所造成的，也可能是由于水平本身所造成的，后者所形成的误差是由系统性因素造成的，称为系统误差。2021/7/24版权所有BY张学毅11方差分析的基本思想7.若不同水平对试验指标值没有影响，则组间误差中只包含随机误差，没有系统误差。这时，组间误差与组内误差经过平均后的数值就应该很接近，它们的比值就会接近1；8.若不同水平对试验指标值有影响，则在组间误差中除了包含随机误差外，还会包含有系统误差，这时组间误差平均后的数

5、值就会大于组内误差平均后的数值，它们之间的比值就会大于1；9.当这个比值大到某种程度时，就可以说不同水平之间存在着显著差异，也就是自变量对因变量有影响。总离差平方和（sumofsquaresfortotal）1)全部观察值与总均值的离差平方和；2)反映全部观察值的离散状况。其计算公式为:六、离差平方和与自由度的分解效应平方和（组间平方和）：SumofsquaresforfactorA1)各组平均值与总平均值的离差平方和；2)反映各总体的样本均值之间的差异程度，又称组间平方和；3)该平方和既包括随机误差，也包括系统误差。计算公式为：误差平方和（组内平方和）:Sumofsqu

6、aresforerror1)每个水平或组的各样本数据与其组平均值的离差平方和；2)反映每个样本各观察值的离散状况，又称组内离差平方和；3)该平方和反映的是随机误差的大小。计算公式为:三个离差平方和的关系总离差平方和=组间平方和+组内平方和三个离差平方和的自由度之间的关系：均方2021/7/24版权所有BY张学毅17七、的统计特征P228根据概率论与数理统计学知识：1）是总体方差的无偏估计量，且与原假设成立与否无关。即2）是否是总体方差的无偏估计量，与原假设成立与否有关。当且仅当原假设成立时，才是总体方差的无偏估计量。八、方差分析表通常将上述计算过程列成一张表格，称为方差分

7、析表。变差源平方和自由度均方F比因素A（组间）s-1误差（组内）n-s-总和n-1--2021/7/24版权所有BY张学毅19例9.1热带雨林一份研究伐木业对热带雨林影响的统计研究报告指出，“环保主义者对于林木采伐、开垦和焚烧导致的热带雨林的破坏几近绝望”。这项研究比较了类似地块上树木的数量，这些地块有的从未采伐过，有的1年前采伐过，有的8年前采伐过。根据数据，采伐对树木数量有显著影响吗？显著性水平α=0.05。2021/7/24202、提出零假设和备择假设H0：u1=u2=u3H1：u1,u2,u3不全相等。从未采伐过1年前