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《概率论与数理统计第九章方差分析》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、第九章方差分析在生产过程和科学实验中，我们经常遇到这样的问题：影响产品产量、质量的因素很多.例如，在化工生产中，影响结果的因素有：配方、设备、温度、压力、催化剂、操作人员等.我们需要通过观察或试验来判断哪些因素对产品的产量、质量有显著的影响.方差分析(Analysisofvariance)就是用来解决这类问题的一种有效方法.它是在20世纪20年代由英国统计学家费舍尔首先使用到农业试验上去的.后来发现这种方法的应用范围十分广阔，可以成功地应用在试验工作的很多方面.第一节单因素试验的方差分析在试验中，我们将要考
2、察的指标称为试验指标，影响试验指标的条件称为因素.因素可分为两类，一类是人们可以控制的；一类是人们不能控制的.例如，原料成分、反应温度、溶液浓度等是可以控制的，而测量误差、气象条件等一般是难以控制的.以下我们所说的因素都是可控因素，因素所处的状态称为该因素的水平.如果在一项试验中只有一个因素在改变，这样的试验称为单因素试验，如果多于一个因素在改变，就称为多因素试验.本节通过实例来讨论单因素试验.1.数学模型例9.1某试验室对钢锭模进行选材试验.其方法是将试件加热到700℃后，投入到20℃的水中急冷，这样反复
3、进行到试件断裂为止，试验次数越多，试件质量越好.试验结果如表9-1.表9-1试验号材质分类A1A2A3A411601581461512161164155152316516416015341681701621575170175164160617216616871801748182试验的目的是确定4种生铁试件的抗热疲劳性能是否有显著差异.这里，试验的指标是钢锭模的热疲劳值，钢锭模的材质是因素，4种不同的材质表示钢锭模的4个水平，这项试验叫做4水平单因素试验.例9.2考察一种人造纤维在不同温度的水中浸泡后的缩水率
4、，在40℃，50℃,…,90℃的水中分别进行4次试验.得到该种纤维在每次试验中的缩水率如表92.试问浸泡水的温度对缩水率有无显著的影响？表9-2（%）21试验号温度40℃50℃60℃70℃80℃90℃14.36.110.06.59.39.527.87.34.88.38.78.833.24.25.48.67.211.446.54.19.68.210.17.8这里试验指标是人造纤维的缩水率，温度是因素，这项试验为6水平单因素试验.单因素试验的一般数学模型为：因素A有s个水平A1，A2，…，As,在水平Aj(j=
5、1,2,…,s)下进行nj(nj≥2)次独立试验，得到如表9-3的结果：表9-3水平观测值A1A2…As样本总和样本均值总体均值x11x12…x1sx21x22…x2s……………T·1T·2…T·s…μ1μ2…μs假定：各水平Aj(j=1,2,…,s)下的样本xij~N(μj,σ2),i=1,2,…,nj,j=1,2,…,s,且相互独立.故xij-μj可看成随机误差，它们是试验中无法控制的各种因素所引起的，记xij-μj=εij,则(9.1)其中μj与σ2均为未知参数.（9.1）式称为单因素试验方差分析的
6、数学模型.方差分析的任务是对于模型（9.1），检验s个总体N(μ１，σ2),…,N(μs,σ2)的均值是否相等，即检验假设(9.2)为将问题（9.2）写成便于讨论的形式，采用记号μ=，其中n=，μ表示μ１，μ2,…,μs的加权平均，μ称为总平均.δj=μj-μ,j=1,2,…,s，δj表示水平Aj下的总体平均值与总平均的差异.习惯上将δj称为水平Aj的效应.利用这些记号，模型（9.1）可改写成：21xij=μ+δj+εij,xij可分解成总平均、水平Aj的效应及随机误差三部分之和(9.1)′假设（9.2）等
7、价于假设（9.2）′2.平方和分解我们寻找适当的统计量，对参数作假设检验.下面从平方和的分解着手，导出假设检验（9.2）′的检验统计量.记ST=，(9.3)这里，ST能反应全部试验数据之间的差异.又称为总变差.Aj下的样本均值.(9.4)注意到，而=记SE=，（9.5）SE称为误差平方和;记SA=，（9.6）SA称为因素A的效应平方和.于是ST=SE+SA.（9.7）利用εij可更清楚地看到SE,SA的含义，记21为随机误差的总平均,,j=1,2,…,s.于是SE=;(9.8)SA=.(9.9)平方和的分解
8、公式（9.7）说明.总平方和分解成误差平方和与因素A的效应平方和.（9.8）式说明SE完全是由随机波动引起的.而（9.9）式说明SA除随机误差外还含有各水平的效应δj，当δj不全为零时，SA主要反映了这些效应的差异.若H0成立，各水平的效应为零，SA中也只含随机误差，因而SA与SE相比较相对于某一显著性水平来说不应太大.方差分析的目的是研究SA相对于SE有多大，若SA比SE显著地大，这表明各水平对指标的影响有显著
