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1、东南大学二〇〇八年攻读硕士学位研究生入学考试试题试题编号：933试题名称：高等代数一．填空题（25分,每题5分）1.设是非负整数,则的充要条件是.2.设矩阵矩阵满足其中是的伴随矩阵,是单位矩阵,则.3.设均为3阶矩阵,将的第一行的（-2）倍加至第三行得到矩阵,将的第二列乘（-2）倍得到矩阵,且,则.4.已知4阶方阵,均为4维列向量,其中线性无关.,如果,则线性方程组的通解为.5.已知两个向量组：（I）：,（II）：,如果（I）与（II）有相同的秩,且可由（I）线性表示,则,.二．计算题（55分）1.（15分）设有齐次线性方程组（1
2、）（4分）试计算系数行列式的值；（2）（8分）讨论当取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解；（3）（3分）试讨论方程组解空间的维数,并求出对应解空间的一组基.2.（15分）设矩阵的伴随矩阵,且,这里表示单位矩阵.（1）（10分）求的逆矩阵；（2）（5分）求上面矩阵方程中的.3.(17分)已知二次型的秩为2.（1）（2分）求的值；（2）（12分）用正交变换化二次型为标准型；（3）（3分）求方程的解.4.（8分）设是一个数域.已知的线性变换（对）及子空间.（1）（3分）说明为的不变子空间；（2）（5分）将看成上的线性变换,求的一组基
3、使在该基下的矩阵为对角矩阵.三．证明题（55分）1.（10分）求证（为三个任意的正整数）.2.（10分）设为阶实对称矩阵且正定.为实矩阵,如果秩=,试证为正定矩阵,这里表示的转置矩阵.1.（15分）设为阶实矩阵,证明：（1）（6分）如果,则存在使；（2）（9分）如果,.则.4.（20分）设为阶实矩阵,试讨论：（1）（10分）如果齐次线性方程组只有零解,则可以分解成一个正交矩阵与一个主对角线上元素为正的上三角矩阵的乘积,并说明这个分解是唯一的；（2）（5分）如果为正定矩阵,则存在一个上三角矩阵,使得,这里表示的转置矩阵；（3）（5分
4、）如果的所有特征值是实的,则存在正交矩阵使为三角矩阵.四．数模题（15分）某工厂生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统计,然后将熟练工支援其他生产部门,其缺额由招收新的非熟练工补齐.新老非熟练工经过培训及实践到年终考核有成为熟练工.设第年一月份统计的熟练工和非熟练工所占比例分别为和记成向量.（1）（7分）求与的关系式,并写成矩阵形式；（2）（4分）验证是的两个线性无关的特征向量,并求出相应的特征值；（3）（4分）当时,求.
