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时间：2018-12-24
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1、2010年中山大学研究生入学考试高等代数试题及其解答摘要：本文给出了中山大学2010年研究生入学考试高等代数试题的一个参考答案.关键词：中山大学；研究生；高等代数白建超2012年6月3日1．(15分)证明在有理数域上不可约.证明：只需要证明无有理根即可.首项系数和常数项都为，故可能的有理根为.但，所以无有理根.2．(15分)计算.解：(加边法)3．(15分)设都是阶可逆矩阵，证明必为可逆矩阵，并求的逆矩阵.证明：由知，所以矩阵可逆，且有4．(15分)将矩阵表示成有限个初等方阵的乘积.解：因为所以5．(15分)设是矩阵，且.如果非齐次线性方程组的三个解向量满足，求的
2、通解.解：由题意的通解可表示为，.令则有，解得故6．(15分)研究下列向量组的线性相关性.解：设即(1)其系数行列式为，故齐次线性方程组(1)有非零解.所以不全为零，向量组线性相关.7．(20分)设是3阶矩阵，它的3个特征值为，设，求.解；由题意可逆矩阵，于是故.8．(20分)设是对称矩阵，求正交矩阵，使为对角阵.解；,所以得特征跟为.对，解齐次线性方程组得特征向量为；对，解齐次线性方程组得特征向量为；对，解齐次线性方程组得特征向量为；因为彼此正交，所以将其分别单位化得.令，则为正交可逆矩阵，且有为对角阵.9．(20分)设是阶下三角阵.如果，且至少有一，证明:不可
3、对角化.证明：的最小多项式为，又有命题可对角化的的最小多项式无重根[1].显然不可对角化.参考文献：[1]贾正华.矩阵可对角化的几个判定方法.巢湖学院学报[J].2010,12(6).
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