高等代数研究生入学考试试题-按学校分类(一)

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1、高等学校攻读硕士学位研究生入学考试高等代数试题集锦陈德华编嘉应学院数学学院二00九年七月79目录bjsfdx北京师范大学(2003,2004)gxdx广西大学(2004,2005,2006,)gxsfdx广西师范大学(2003,2004,2005，)gzdx广州大学(2003,2004,2005，)hebgydx哈尔滨工业大学(2009,)hnlgdx华南理工大学(2005，2006,2009，)hnsfdx华南师范大学(2002，2003,2007，)hnsfdx湖南师范大学(2000，2001,2002，)hzk

2、jdx华中科技大学(2004,)hzsfdx华中师范大学(2006,)kmlgdx昆明理工大学(2008,)lzdx兰州大学(2002,)nkdx南开大学(2003,2005,2006)stdx汕头大学(1998，1999,2000,2002,2003,2004,2005，)sxdx三峡大学(2006,)sxsfdx陕西师范大学(2005,)szdx深圳大学(2004,)xadzkjdx西安电子科技大学(2001,)xbdx西北工业大学(1999(1),1999(2),2000(1),2000(2)，2004，)xm

3、dx厦门大学(2004,)xndx西南大学(2006,)zgkxy中国科学院(1996,1997,2003)79北京师范大学2003年1．(1)计算排列87162534的逆序数，并依次写出将上述排列变成12345678的所有对换。(2)设个数码的排列的逆序数是，那么排列的逆序数是多少？请说明理由。2．设是数域上的一个阶若当块，试写出与可交换的域上的全体阶矩阵。3．一个大于1的整数若其因子只有1和本身，则称之为素数。证明是素数当且仅当任取正整数，若，则或。4．已知是六个实函数，它们生成的子空间记作。说明维商是上的一个线

4、性变换，并求在基下的矩阵。5．设域上的维线性空间的一个线性变换在基底下的矩阵为79(1)求的特征多项式；(2)维向量空间有循环基底吗？若有，试求之；(3)求的极小多项式并说明理由。6．设是一个数域，是上的未定元，二阶矩阵其中，是域上的一元多项式环。运用带余除法证明可通过行与列三种初等变换(其中第三种变换允许将某行(列)乘以中的多项式加到另一行(列)上)化为的形式，且。2004年1．试用元初等对称多项式表述下列多项式(1)；(2)，此处表示对脚标进行所有可能的元置换后对不同的项求和；(3)。2．设变换定义为(1)证明是

5、一个线性变换；(2)求出在下述基底下的矩阵：79(3)求出在下述基底下的矩阵：(4)写出从到的过渡矩阵。3．已知线性方程组(1)求出系数矩阵的秩；(2)给出方程组有解的充分必要条件。4．令实二次型,其中,设与分别是的最大与最小特征值。则对任意的个实数均有5．令是一个维欧氏空间，是的一个标准正交基，是的一个线性变换，是关于这个基的矩阵，证明6．设是维向量空间的一个线性变换，是的极小多项式，此处和是不同的复数。令证明：(1)和都是的不变子空间；(2)；(3)的极小多项式是，的极小多项式是。79广西大学2004年1．计算行

6、列式其中，。2．已知是一个非零矩阵，且的每一个列向量都是方程组的解。(1)求的值；(2)证明。3．设是两两互异的整数，试证明多项式在有理数域上不可约。4．设是矩阵，且(是级单位矩阵)，，证明不是可逆矩阵。5．设是一个维欧氏空间，是中一个固定的向量，证明(1)是的一个线性子空间；(2)dim。6．设为级实对称矩阵，，的秩等于。(1)证明存在正交矩阵，使其中是级单位矩阵；79(2)计算。7．设为两个矩阵，的个特征值两两互异，若的特征向量恒为的特征向量，证明。8．证明数域上的维线性空间的任一子空间都是某一线性变换的核。9．

7、设是数域上的维线性空间，是的线性变换，是的两个非平凡子空间，且，试证明是可逆线性变换的充要条件是。2005年1．计算行列式2．已知矩阵，矩阵满足，求。3．当为何值时，线性方程组有唯一解，无解，有无穷多组解？在有无穷多组解时求其全部解。4．设有个维向量，其分量满足证明这个向量线性无关。795．设是维线性空间的两个子空间，证明(1)若均是的两个非平凡子空间，则存在，使同时成立。(2)若，则或。6．设证明，若，则。7．设，，且与不全为零，证明是，的一个最大公因式的充分必要条件是。8．设都是阶实对称矩阵，证明(1)若都是正定

8、矩阵且，则是正定矩阵；(2)如果与均为半正定矩阵，则。9．设是维线性空间的两个子空间，且其维数之和为，证明存在的线性变换，使Ker，。2006年1.设，证明当且仅当。2.设为4阶方阵且，，求。3.设为阶方阵，是维列向量且，，，，试证明线性无关。4.设为阶方阵，证明秩()秩()。5.求齐次线性方程组79的解空间的一组标准正交基。6.若，则称是的一