塑性应力应变关系

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1、第七章塑性应力应变关系§7.1广义虎克定律材料力学和弹性力学中的广义胡克定律，建立的就是应力和全量应变之间的关系，只是其局限在弹性范围内。弹塑性变形的全量理论实际上可看成是广义胡克定律在弹塑性范围中的推广，两者在表现形式上是相似的。因此，回顾一下广义胡克定律，找出它的特点，对于建立弹塑性问题的应力—应变关系是有帮助的。由材料力学知道，对于各向同性弹性体，广义胡克定律表示为：1ε=[σ−ν(σ+σ)]xxyzE1ε=[σ−ν(σ+σ)]yyzxE1ε=[σ−ν(σ+σ)]（7.1—1）zzxyE11+νε=τ=τxyxyxy2GE11+νε=τ=τyzyzyz2GE1

2、1+νε=τ=τzxzxzx2GE用指标符号，上式可表示为：1+νν1νεij=σij−σkkδij=σij−σkkδij（7.1—2）21+ν2G1+ν将式（7.1—1）的前三项相加，得：1−2νε=σ（7.1—3）mmE代入式（7.1—2），可得到用应变表示应力的关系式：EνEνEσij=εij+σkkδij=(eij+δijεm)+⋅3εmδij1+ν1+ν1+ν1+ν1−2νEE=e+εδijmij1+ν1−2ν（7.1—4）=2Ge+3KεδijmijE式中：K=称为体积弹性模量，表示产生单位体积变形所需要的应力。考虑3(1−2ν)

3、到：1σ=S+σδ（7.1—5）ijijmij代入上式后得到广义胡克定律的另一形式：S=2Ge（7.1—6）ijij式（7.1—5）的展开式为：σx=2Gex+3Kεm,τxy=2Gexyσy=2Gey+3Kεm,τyz=2Geyz（7.1—7）σ=2Ge+3Kε,τ=2Gezzmzxzx在广义胡克定律中，材料常数有杨氏弹性模量E，剪切弹性模量G，体积弹性模量K和泊松比ν，其中只有两个是独立的，可以表示出其他两个材料常数。下面将进一步讨论应力莫尔圆和应变莫尔圆之间的关系。由式（7.1—7）可得到：σ−σ=2G(e−e)=2G(ε−ε)xyxyxyσ−σ=2

4、G(ε−ε)yzyzσ−σ=2G(ε−ε)（7.1—8）zxzx改写成主应力和主应变的形式，有:σ−σ=2G(ε−ε)1212σ−σ=2G(ε−ε)2323σ−σ=2G(ε−ε)（7.1—9）3131因而有：σ−σσ−σσ−σ12=23=31=2G（7.1—10）ε−εε−εε−ε122331可见，服从广义胡克定律的各向同性线弹性材料，其应力莫尔圆与应变莫尔圆在几何上是相似的，应力罗代参数µ等于应变罗代参数µ。等效应力与等效应变之间也有简σε单关系。由等效应力定义式得：1222σ=(σ−σ)+(σ−σ)+(σ−σ)12233122G222=(ε−ε)+(ε−ε)+(

5、ε−ε)1223312=3Gε（7.1—11）与σ=Eε比较得量E＝3G，这是由于在等效应变的定义式中，系数的选择已经考虑到材料是不可压缩的，泊松比ν取值为0.5的缘故。由上述讨论可以得到以下几点结论：1．平均应力与体积应变成正比；2．应力偏张量与应变偏张量成正比；3．应力主方向与应变主方向重合；4．等效应力与等效应变成正比。§7.2全量理论及基本方程组2全量理论研究的是材料的应力和全量应变之间的物理关系。全量理论又称为形变理论，它主要曾由汉基和依留申等人研究过，所以有时也称为汉基—依留申理论。当材料发生弹塑性变形时，一般来说，全量应变与加载历史有关，因此要建立普遍

6、的应力和全量应变间的关系是困难的。只有在某些特定的加载方式下，例如在简单加载的情况下，才能建立起便于实际应用的全量理论应力—应变关系。一、依留申理论依留申理论是全量理论中最简单的一种理论，它联系在小弹塑性变形范围内的全量应变与应力之问的关系。所谓小弹塑性变形范围，就是指离弹性状态不远，即使到达塑性状态，其变形量仍是很小的，与弹性变形量具有相同的数量级，其应变由弹性应变和塑性应变两部分组成。依留申小弹塑性理论所采用的假设，与前述广义胡克定律的几点结论十分相似，其基本假设是：1，体积应变是弹性的，并且与平均应力成正比；2．应力偏张量与应变偏张量成正比；3．应力主轴与应变

7、主轴重合。应力英尔圆与应变莫尔圆相似；应力罗代参数µ等σ于应变罗代参数µ。在整个加载过程中主方向保持不变；ε4．等效应力是等效应变的单值函数，即：σ=φ(ε)（7.2—1）式（7.2—1）实际上就是单一曲线假设的表达式。可以把式（7.1—11）理解为式（7.2—1）的一个特殊情况，则广义胡克定律可理解为依留申理论的一个特殊情况，也就是说，全量理论是比弹性理论更具有一般性的理论，这两者在表达形式上也是很相似的。根据应力偏张量与应变偏张量成正比的假设，类似于式(7.1—6)，可以写出：'S=2Ge(7.2—2)ijij式中，'为与材料性质和塑性变形程度有关的系数。写