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1、第二章有限差分法及热传导的数值计算本章要点：1.着重掌握导热问题数值解法的基本思想2.掌握节点离散方程的建立及求解本章难点：离散方程的建立（有限差分方程）本章主要内容：第一节导热问题数值求解的基本思想第二节内节点离散方程的建立方法第三节边界节点离散方程的建立及代数方程的求解第四节非稳态导热问题的数值解法求解导热问题实际上就是对导热微分方程在定解条件下的积分求解，从而获得分析解。近100年来,对大量几何形状及边界条件比较简单的问题获得了分析解,但对于工程技术中遇到的许多几何形状或边界条件复杂的导热问题,由于数学上
2、的困难目前还无法得出其分析解.随着计算机技术的迅速发展，并得到日益广泛的应用.对物理问题进行离散求解的数值方法发展得十分迅速，这些数值解法主要有以下几种：（1）有限差分法（2）有限元方法（3）边界元方法•数值解法的实质对物理问题进行数值解法的基本思路可以概括为：把原来在时间、空间坐标系中连续的物理量的场，如导热物体的温度场等，用有限个离散点上的值的集合来代替，通过求解按一定方法建立起来的关于这些值的代数方程，来获得离散点上被求物理量的值。该方法称为数值解法。这些离散点上被求物理量值的集合称为该物理量的数值解。2
3、.1导热问题数值解法的基本思想——离散化理论解在规定的边界条件下积分，有很大局限性；数值解借助计算机，前景广阔。1.有限差分法原理（连续的问题离散的问题）以有限差分无限微分无限划分实质达到精度以差分代数方程微分方程计算机帮助（当离散点足够多时可以满足要求）建立控制方程及定解条件确定节点（区域离散化）建立节点物理量的代数方程设立温度场的迭代初值求解代数方程是否收敛解的分析改进初场是否物理问题的数值求解过程下面先对稳态导热问题中位于计算区域内部的节点(简称内节点)介绍其离散方程的建立方法，而位于边界上的节点及非稳态
4、导热中的非稳态项的离散将在以后讨论。为讨论方便，把如图中的节点(m，n)及其邻点取出并放大，如图所示。图4-3内节点离散方程的建立2.2内节点离散方程的建立方法（b）xynm(m,n)MN基本概念：控制单元、网格划分、节点、边界、步长等二维矩形域内稳态、常物性的导热问题下面以一个二维导热问题为例进行分析(有限差分法)：把一个二维物体在X及Y方向上分别以及距离分割成矩形网格。则其中节点（m，n)的坐标为：X=m,Y=n,其余节点类推。（举例）三种基本差分格式：[以节点(m，n)为例]（1）向前差分：（2）向后差分
5、：（3）中心差分：对无内热源、稳态、二阶导热微分方程，有：用中心差分格式因为：所以：最终得：如果取正方形网格，即取，则上式为：tm+1,n+tm-1,n+tm,n+1+tm,n-1-4tm,n=0上式说明：在导热系数为常量时，热量的转移可用温度差来表达；在稳态下，流向任何节点的热量的总和必须为零。对于每个节点写出上式，然后联立求解方程组，即可求解。（如边界温度已知，可逐步递推求解）泰勒级数展开法根据泰勒级数展开式，用节点(m,n)的温度tm,n来表示节点(m+1,n)而温度tm+1,n用节点(m,n)的温度tm
6、,n来表示节点(m-1,n)的温度tm-1,n将上两式相加可得将上式改写成的表达式，有同样可得：表示未明确写出的级数余项中的ΔX的最低阶数为2根据导热问题的控制方程(导热微分方程)若△x=△y则有得xy如图所示边界节点(m,n)只能代表半个元体，若边界上有向该元体传递的热流密度为q，据能量守恒定律对该元体有：1.边界节点离散方程的建立：(1)平直边界上的节点2.3边界节点离散方程的建立及代数方程的求解傅里叶定律(2)外部角点如图所示，二维墙角计算区域中，该节点外角点仅代表1/4个以为边长的元体。假设边界上有向该
7、元体传递的热流密度为，则据能量守恒定律得其热平衡式为：xyqw(3)内部角点如图所示内部角点代表了3/4个元体，在同样的假设条件下有xyqw讨论关于边界热流密度的三种情况：（1）绝热边界即令上式即可。（2）值不为零流入元体，取正，流出元体，取负使用上述公式（3）对流边界此时，将此表达式代入上述方程，并将此项中的与等号前的合并。对于的情形有（a）平直边界（b）外部角点（c）内部角点2.代数方程的求解方法2）迭代法：先对要计算的场作出假设（设定初场），在迭代计算中不断予以改进，直到计算前的假定值与计算结果相差小于允
8、许值为止的方法，称迭代计算收敛。1）直接解法：通过有限次运算获得精确解的方法，如：矩阵求解，高斯消元法。迭代法目前应用较多的是：1）高斯——赛德尔迭代法：每次迭代计算，均是使用节点温度的最新值。2）用雅可比迭代法：每次迭代计算，均用上一次迭代计算出的值。设有一三元方程组：其中（i=1,2,3；j=1,2,3）及是已知的系数（均不为零）及常数。采用高斯——赛德尔迭代法的步骤：（1）将三元
