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1、2009年7月咸阳师范学院学报Jul.2009第24卷第4期JournalofXianyangNormalUniversityVol.24No.4［理论物理与应用物理学研究］热传导方程有限差分法的MATLAB实现史策(西安建筑科技大学理学院，陕西西安710055)摘要：对于有界热传导齐次方程的混合问题，用分离变量法求解往往很复杂。为了更好地理解热传导方程的解，使用MATLAB软件将方程的解用图像表示出来。通过区域转换的思想，利用MATLAB编程实现一定区域内热传导方程的有限差分方法，数值表明了方法的可行性和稳定性
2、。关键词：热传导方程；有限差分；MATLAB中图分类号：O552文献标识码：A文章编号：1672-2914（2009）04-0027-03近些年来，求解热传导方程的数值方法[1]取得进行。鉴于以上情况，本文考虑以下边界值问题：展，特别是有限差分区域分解算法[2]2，此类算法的特#坠u2坠u=a，0＜l,t＞0%坠t2点是在内边界处设计不同于整体的格式，将全局的%坠x隐式计算化为局部的分段隐式计算。使人从感觉上$u
3、x=0=0,u
4、x=l=0,t＞0%认为这样得到的解会比全局隐式得到的解的精度%πxu
5、x=0=si
6、n!",0＜x＜l&l差，但大量的数值实验表明事实正好相反，用区域分利用区域转化的思想通过极坐标对求解区域进行转解算法求得的解的精度更好。化，求解区域划分为差分网格，用有限个网格节点代MATLAB[3]具有强大的图形绘制功能，为科学替连续的求解域。有限差分法以Taylor级数展开等计算和图形处理提供了很大的方便。用户只须指定方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值绘图方式,并提供充足的绘图数据,用很少的程序指的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值令就可得到直观、形象的图形结果。因此，近些年为未知数的代数
7、方程组。来，越来越多的人开始使用MATLAB来求解热传1求解热传导方程的基本思想导方程[4，5]。借助MATLAB的数值计算和图形处理基本思想是把连续的定解区域用有限个离散点技术[6]构成的网格来代替，这些离散点称作网格的节点；，我们可以绘制出热传导方程数值解的二维、三维图形，从而可以更好地理解热传导方程解的意义。把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定坠u2坠2u义的离散变量函数来近似；把原方程和定解条件中一维热传导方程=a，2的微商用差商来近似，积分用积分和来近似，于是原坠t坠x是最简单的偏微分方程之一，
8、其定解问题的数值解微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组，法主要有有限元法和有限差分法等，对于有限元法即有限差分方程组，解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解。然后再利用插值方法便可以来说，适用处理复杂区域、精度可选；缺点在于内存从离散解得到定解问题在整个区域上的近似解[8,9]。和计算量巨大，不易编程实现。对于有限差分法来下面是有限差分法数值计算的基本步骤：说，虽然比较直观、理论也比较成熟、精度可选；但是(1)区域的离散或子区域的划分；不规则区域处理繁琐，网格生成可以使有限差分方(2)插值函数的选择；
9、法[7](FDM)应用于不规则区域，但是对区域的连续性(3)方程组的建立；等要求较严。适用FDM的好处在易于编程，易于并(4)方程组的求解。收稿日期：2009-04-20作者简介：史策（1986-），男，陕西兴平市人，西安建筑科技大学理学院硕士研究生，研究方向为微分方程数值解法。·28·咸阳师范学院学报第24卷2热传导方程的离散分析a=input('请输入系数a的值：');tl=input('请输入长度l的值：');→△x←M=input('请输入将区间[0,l]等分的个数M：');Tot=input('请输入时
10、间增量ot的值：');↓n=input('请输入运行次数n的值：');n+1△tox=l/M;x0=zeros(M+1,1);(j,n)n誗誗誗↑forii=1:M(j-1,n)(j+1,n)x0(ii+1)=ii*ox;n-1誗end(j,n-1)u=sin(pi*x0/l);%t=0时u(x,t)的值0j-1jj+1lxr=a^2*ot/(ox)^2;图1热传导方程隐格式网格划分forii=1:n%数据的输入通过已知方程，建立一个关于时间和步长（x-tB=zeros(M-1,1);%存放系数矩阵主对角线元素坐
11、标）的函数，设步长为△x=l/M,每次运行的时间为A=zeros(M-2,1);%存放系数矩阵主对角线元素下△t=T/N,这样就把初始的矩形区域划分成了一个长方次对角线的元素方形的网格，本文就是通过对原方程建立的差分格C=zeros(M-2,1);%存放系数矩阵主对角线元素上式，以及对初始条件和边界条件建立相应的差分近方次对角线的元素似进行计算，即把原方程离散到各个节点上
