有限差分法及matlab实现

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1、有限差分法解静电场的边值问题的算法实现及相关问题讨论：王宁远中国科学技术大学09级物理2班E-mailwny@mail.ustc.edu.cn摘要：本文用MATLAB实现了有限差分法解静电场边值问题的算法，将偏微分方程的问题化为线性方程组问题，并使用了迭代法进行线性方程组的数值解。讨论了从几个角度去优化迭代法的措施。并运用这样的方法解决了文[1]的闪电模拟问题，，使用了更优化的算法对重新进行了计算，并一定程度上改进了模型,讨论了几个与文[1]所持的不同的观点。正文：经典场的边值问题在数学上表达为泊松方程和

2、拉普拉斯方程，但解偏微分方程往往是困难的。幸而很多时候对于具体问题我们需要的不是解析解，而是数值解，所以可以考虑用连续变量离散化的方法求出数值解,在足够的精度上进行逼进,这就引出了有限差分法。1.1有限差分法:有限差分法：微分：f'x=fxh−fxh0=dyhdx用有限的h代替，使得△yf'x≈△x差分的种类：fxh−fxfx−fx−hfxh−fx−h一阶差分：或者或者hh2hfxh−fxfx−fx−h−二阶差分:hhfxhf

3、x−h−2fx=2hh设Ux,y,z为空间电势的函数。泊松方程：2∇U=ρ使用二阶差分代替泊松方程中的拉普拉斯算符，有：2222∂U∂U∂Ufxh,y,zfx−h,y,z−2fx,y,z∇U==∑2222∂x∂y∂zh∑表示分别对三个变元求差分之和，以下相同矩阵（数组）是计算机中重要的数据结构，为了方便用矩阵去存储数据，我们网格去划分空间，从而不仅使方程化为简单的有限差分形式，而且这样的数据类型在计算机中易于储存和运算。那么h=k=l=1，并且令f(x,y,z)=u(x,y

4、,z)就有Ui1,j,kUi−1,j,kUi,j1,kUi,j−1,kUi,j,k1Ui,j,k−1=6Ui,j,kρ这就是泊松方程的有限差分形式，以下估计该方程的精度：由泰勒公式，易知有以下结果：23∂U1∂U21∂U3Uxh,y,z=Ux,y,zhhh⋯23∂x2∂x6∂x23∂U1∂U21∂U3Ux,yk,z=Ux,y,zkkk⋯23∂y2∂y6∂y23∂U1∂U21∂U3Ux,y,zl=Ux,y,zll

5、l⋯23∂z2∂z6∂z若考虑离散的点：23∂U1∂U1∂UUi1,j,k=Ui,j,k⋯23∂x2∂x6∂x23∂U1∂U1∂UUi,j1,k=Ui,j,k⋯23∂y2∂y6∂y23∂U1∂U1∂UUi,j,k1=Ui,j,k⋯23∂z2∂z6∂z23∂U1∂U1∂UUi−1,j,k=Ui,j,k−−⋯23∂x2∂x6∂x23∂U1∂U1∂UUi,j1,k=Ui,j,k−−⋯23∂y2∂y6∂y23∂U1∂U1∂UUi

6、,j,k1=Ui,j,k−−⋯23∂z2∂z6∂z上述六式相加Ui1,j,kUi−1,j,kUi,j1,kUi,j−1,kUi,j,k1Ui,j,k−1222∂U∂U∂U=6Ui,j,k⋯222∂x∂y∂z2代入∇U=ρUi1,j,kUi−1,j,kUi,j1,kUi,j−1,kUi,j,k1Ui,j,k−12=6Ui,j,k∇U⋯=6Ui,j,kρ⋯由于所有的奇次项被抵消，所以方程

7、：Ui1,j,kUi−1,j,kUi,j1,kUi,j−1,kUi,j,k1Ui,j,k−1=6Ui,j,kρ-----(1)式的精度为三阶，四阶及更高阶项被略去。2若满足∇U=0有Ui1,j,kUi−1,j,kUi,j1,kUi,j−1,kUi,j,k1Ui,j,k−1=6Ui,j,k-----(2)式此即拉普拉斯方程的有限差分形式。这里，我们通过有限差分的方法，把偏微分方程在三阶精度下简化为形式易于计算的代数方程

8、。从而使之易于在计算机上实现。注：有时我们需要解二维静电场，则方程退化为：22∂U∂UUi1,jUi−1,jUi,j1Ui,j−1=4Ui,j22∂x∂y即22∂U∂UUi1,jUi−1,jUi,j1Ui,j−1=4Ui,j22∂x∂y1.2算法选择:下面我们对算法再进行一些讨论。MATLAB的M语言本身带有矩阵的数据类型，且MATLAB具有高效的数值计算功