声波方程有限差分法数值模拟.pdf

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1、声波方程有限差分法数值模拟学院:海洋地球科学学院专业:地球信息科学与技术年级:2012级姓名:王昊指导教师:宋鹏声波方程有限差分法数值模拟2012级地球信息科学与技术12040032037王昊摘要:本实验应用声波方程作为正演模拟的波动方程,将所提供震源函数离散后绘图,并将给定两个二维速度-深度模型(一个小模型;一个大模型),绘出图形。通过模拟地震波在介质中的传播,理解实际勘探中地震波在地层中的传播规律,在模拟水平层状速度模型中,体会地震波在两种介质分界面的传播规律,并能够从地震记录中识别出反射波,透射波,多次波,折射波和绕射波。

2、并通过模拟人工合成的地震记录,体会地震勘探基本原理和方法,验证地震波传播能量波形变化趋势。关键词:声波方程数值模拟地震波有限差分引言:地震波场模拟即地震正演,是指已知模型结构,通过物理或数值计算的方法模拟该地质结构下的地震波的传播,最终合成地震记录,也可以认为其是野外数据采集过程的室内再现。物理模拟花费昂贵,人们一般采用比较经济的数值模拟技术。地震波场数值模拟是在给定数学模型(如弹性波方程,声波方程等)、震源和地下几何界面、物性参数(岩层密度、速度等)情况下,研究弹性波或声波的传播规律。地震波波动方程数值模拟方法主要包括克希霍夫

3、积分法、傅里叶变换法、有限元法和有限差分法等。相对于上述几种方法,有限差分法是一种更为快速有效的方法。虽然其精度比不上有限元法,但因其具有计算速度快,占用内存较小的优点,在地震学界受到广泛的重视与应用。本实验给定大小两个模型,对于小模型,整个区域的速度值可设为常数,即只有一种介质,将震源点放在模型中间,分别记录两个时刻的波前快照(即该时刻区域内所有网格点的波场值)。第一时刻为地震波还未传播到边界上的某时刻,第二时刻为地震波已经传播到边界上的某时刻,体会其人工边界反射;对于大模型,定义为水平层状速度模型(至少两层);做两个实验,一

4、是将震源点放在区域表层任一点,记录下某些时刻的波前快照,体会地震波在两种介质的分界面上传播规律;二是合成一个地震记录,即记录下与震源同一深度点的各点所有时刻的波场值,并指出记录上的同向轴分别对应哪些波。实验内容:对于二维速度-深度模型,地下介质中地震波的传播规律可以近似地用声波方程描述:222u2uuv()S(t)(1)222txz其中v(x,z)是介质在点(x,z)处的纵波速度,本实验中v为常数2500,u为描述速度位或者压力的波场,s(t)为震源函数,本实验选用雷克子波(零相位子波)(2/)22s(t

5、)eftcos2ft上式中,t为时间,fm为中心频率,一般取为20-40HZ,本实验取20,γ为控制频带宽度的参数,一般取3-5,这里取4,在实际计算过程中,需把此震源函数离散,参与波场计算。由图像可知子波能量主要集中在前部,大致上t>35的时候S(t)都为零值,故在绘制S(t)图像时k取100,来比较清晰得呈现雷克子波。本实验不涉及吸收边界条件的使用。这样声波方程数值模拟所需的(1)震源函数(2)地层速度(波速)(3)边界条件均定义完全。为求(1)式的数值解,必须将此式离散化(包括时间离散和空间离散,这里dt取0.002,

6、dh取4,即用有限差分来逼近导数,用差商代替微商。为此,先把空间模型网格化,得到横向上x=i*dh,纵向上uk图1z=j*dh,t=n*dt,k时刻(i,j)点的波场值为i,j。实验中波场本应定义三维数组,但考虑到内存问题,将其定义为二维数组,采用循环交换赋值实现三维数组的功能,这里利用泰勒展式,展到二阶略去高阶小量,整理得(i,j)点k时刻的二阶时间微商,对于空间微分,采用四阶精度差分格式分别在(i,j)点k时刻展开到四阶小量,消除四阶小量并解出二阶微分,由时间和空间的二阶微商整理得到波场值。22k1kk1vt1kk4k

7、k5kui,j2ui,jui,j2{[ui2,jui2,j][ui1,jui1,j]ui,j}h123222vt1kk4kk5k{[uu][uu]u}2i,j2i,j2i,j1i,j1i,jh1232s(t)*(ii)*(jj)(2)00一般来讲,差分时差分格式阶数越高,得到的波场值精度越高,但稳定性会受影响,差分格式的稳定性不仅与差分格式本身有关,也随着差分精度的不同而不同,而且与网格步长之比的大小有关,值得指出3v*t/hmax的是差分格式的稳定性与微分方程无

8、关,本实验所采用的(2)式为条件稳定,稳定条件:8,(2)式由差分方程近似替代微分方程所得,所以如果空间和时间采样间隔不当,就会产生频散现象,导致hv/(Gf)波形畸变,甚至派生出多个同相轴,为减少频散,Δh需满足Dablain的经验公式:minN??为Ny

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