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1、第五节有约束条件的极值问题Minf(x)hi(x)=0i=1,2,...,mgj(x)≥0j=1,2,...,l对于有约束条件问题采取制约函数法：可将有约束条件的问题转化为一系列无约束极值问题。常用的制约函数有两类；一为惩罚函数，二为障碍函数。对应于两种函数有外点法和内点法。外点法以例来说明外点法基本思路：Minf（x）＝x12＋x22x1＋x2－2＝0该问题的可行域是直线构造出这样的函数，对可行点不加“惩罚”，对非可行点给以正无穷大的“惩罚”，即当x1＋x2＝2时F(X)＝x12＋x22当x1＋x2≠2时F(X)＝＋∞求得
2、无约束条件的F(x)最优解一定在可行域中。但对F(x)寻优难以实现，要构造更好的函数。F(X,μ)=f(x)+μ(h(x))2=x12+x22+μ(x1+x2-2)2其中μ取一很大的正数。当点x在可行域时,F(X,μ)=x12+x22当点x不在可行域时,即x1＋x2≠2时,使F(X,μ)取很大值(因为μ很大),而且这个点距可行域越远,F的值就越大。求解minF(X,μ)问题,迭代点虽然不是可行点,但随着迭代过程进行,迭代点必然向可行域靠近,最后逐步趋向可行域内的最优点。在迭代过程中令μ→+∞,最优点一定在可行域中。现求无约束
3、问题F(x,μ)的最优解。解得：当μ很大时,即令μ→+∞,得最优解x1=1,x2=1。无约束的极小点接近约束问题的极小点。F(x,μ)称为惩罚函数，为惩罚因子。一般地，有约束问题模型为（1）Minf(x)hi(x)=0i=1,2,...,m可用如下形式惩罚函数（2）Minf(x)gj(x)≥0j=1,2,...,l其惩罚函数可为F(X,μ)=f(x)+μψ(x)（3）Minf(x)hi(x)=0i=1,2,...,mgj(x)≥0j=1,2,...,l其惩罚函数可为F(X,μ)=f(x)+μψ(x)其中例：用外点法求在实际算
4、法中,把μ取为一个逐步趋向正无穷大的数列{μk},并对K=0,1,2,...求解,得极小点数列{Xk*}。可以证明,如果数列收敛,必收敛于约束问题的极小点X*。惩罚因子μ(和放大系数β)的初始值不能取太大,一般地，取μ=1.0(β取10.0)。因μ越大,无约束目标函数F(X,μ)的Hesse矩阵越难求,无约束问题的求解越困难,甚至无法求解,所以开始不能太大。解：令F(X,μ)=1/3(x1+1)3+x2+μ{(x1-1)2φ(x1-1)+x22φ(x2)}则当x∈DF(X,μ)=1/3(x1+1)3+x2F(X,μ)=1/3
5、(x1+1)3+x2+μ{(x1-1)2+x22}令：解得取μ1=0.001,β=10为初始值,然后μ2…μ8μ9,分别取0.01,0.1,1,10,100,1000,10000,100000得X*=(0.9999,-0.000005)T本题最优解为X*=(1，0)T,最优目标函数值f(X*)=8/3。内点法内点法的迭代点都在可行域内，初始点X(0)必须是可行点。此法对靠近可行域边界的点施加越来越大的惩罚,对边界上的点施加无穷大的惩罚,以阻止迭代点穿越边界,从而将迭代点封在可行域内。内点法仅适用于不等式约束:Minf(x)g
6、j(x)≥0j=1,2,...,l构造函数：F(X,μ)=f(x)+μψ(x)其中ψ(x)叫屏障函数;μ>0仍叫惩罚函数因子;μψ(x)叫惩罚项。从D的内点X(0)出发,对MinF(X,μ)(μ>0)迭代,F(X,μ)的值逐渐下降,所得的解或近似解只可能是D的内点。若逐次选取μ1>μ2>…>0,μk→0,求出MinF(X,μk)的最优解X(μk)也逐步逼近原问题的最优解X*。μ1范围可选1～50,β可取0.1或0.01等,初始点X(0)必须为可行点。例用内点法求解解：令并令所求最优解为习题1.用最速下降法解2.用变尺度法求二
7、次函数的极小值点,其中3.用单纯型法求的极小值设初始点为4.用外点法解5.用内点法解题4
