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1、第七章一、空间曲线的一般方程二、空间曲线的参数方程三、空间曲线在坐标面上的投影第四节空间曲线及其方程三、空间曲线在坐标面上的投影设空间曲线C的一般方程为消去z得投影柱面则C在xoy面上的投影曲线C´为消去x得C在yoz面上的投影曲线方程消去y得C在zox面上的投影曲线方程例如,在xoy面上的投影曲线方程为又如,所围的立体在xoy面上的投影区域为:上半球面和锥面在xoy面上的投影曲线二者交线所围圆域:二者交线在xoy面上的投影曲线所围之域.题1：画出下列曲线在第一卦限内的图形。(2)(1)(3)求曲线绕z轴旋转的曲面与
2、平面的交线在xoy平面的投影曲线方程.解：旋转曲面方程为交线为此曲线向xoy面的投影柱面方程为此曲线在xoy面上的投影曲线方程为,它与所给平面的练习题：第五节一、平面的点法式方程二、平面的一般方程三、两平面的夹角平面及其方程第七章①一、平面的点法式方程设一平面通过已知点且垂直于非零向称①式为平面的点法式方程,求该平面的方程.法向量.量则有故例1.求过三点即解:取该平面的法向量为的平面的方程.利用点法式得平面的方程此平面的三点式方程也可写成一般情况:过三点的平面方程为说明:特别,当平面与三坐标轴的交点分别为此
3、式称为平面的截距式方程.时,平面方程为分析:利用三点式按第一行展开得即二、平面的一般方程设有三元一次方程以上两式相减,得平面的点法式方程此方程称为平面的一般任取一组满足上述方程的数则显然方程②与此点法式方程等价,②的平面,因此方程②的图形是法向量为方程.特殊情形•当D=0时,Ax+By+Cz=0表示通过原点的平面;•当A=0时,By+Cz+D=0的法向量平面平行于x轴;•Ax+Cz+D=0表示•Ax+By+D=0表示•Cz+D=0表示•Ax+D=0表示•By+D=0表示平行于y轴的平面;平行于z轴的平面;平行于xoy
4、面的平面;平行于yoz面的平面；平行于zox面的平面.例2.求通过x轴和点(4,–3,–1)的平面方程.例3.用平面的一般式方程导出平面的截距式方程.解:因平面通过x轴,设所求平面方程为代入已知点得化简,得所求平面方程三、两平面的夹角设平面∏1的法向量为平面∏2的法向量为则两平面夹角的余弦为即两平面法向量的夹角(常为锐角)称为两平面的夹角.特别有下列结论：因此有例4.一平面通过两点垂直于平面∏:x+y+z=0,求其方程.解:设所求平面的法向量为即的法向量约去C,得即和则所求平面故方程为且外一点,求例5.设解:设平面
5、法向量为在平面上取一点是平面到平面的距离d.,则P0到平面的距离为(点到平面的距离公式)例6.解:设球心为求内切于平面x+y+z=1与三个坐标面所构成则它位于第一卦限,且因此所求球面方程为四面体的球面方程.从而第六节一、空间直线方程二、线面间的位置关系空间直线及其方程第七章一、空间直线方程因此其一般式方程1.一般式方程直线可视为两平面交线，(不唯一)2.对称式方程故有说明:某些分母为零时,其分子也理解为零.设直线上的动点为则此式称为直线的对称式方程(也称为点向式方程)直线方程为已知直线上一点例如,当和它的方向向量例1
6、.求与两平面x–4z=3和2x–y–5z=1的交线提示:所求直线的方向向量可取为利用点向式可得方程平行,且过点(–3,2,5)的直线方程.3.参数式方程设得参数式方程:例1.用对称式及参数式表示直线解:先在直线上找一点.再求直线的方向向量令x=1,解方程组,得交已知直线的两平面的法向量为是直线上一点.故所给直线的对称式方程为参数式方程为例2.求直线与平面的交点.提示:化直线方程为参数方程代入平面方程得从而确定交点为（1，2，2）.二、线面间的位置关系1.两直线的夹角则两直线夹角满足设直线两直线的夹角指其方向向量间的
7、夹角(通常取锐角)的方向向量分别为特别有:例2.求以下两直线的夹角解:直线直线二直线夹角的余弦为从而的方向向量为的方向向量为当直线与平面垂直时,规定其夹角线所夹锐角称为直线与平面间的夹角;2.直线与平面的夹角当直线与平面不垂直时,设直线L的方向向量为平面的法向量为则直线与平面夹角满足直线和它在平面上的投影直︿特别有:解:取已知平面的法向量则直线的对称式方程为直的直线方程.为所求直线的方向向量.垂例3.求过点(1,－2,4)且与平面例4.设一平面平行于已知直线且垂直于已知平面求该平面法线的的方向余弦.提示:已
8、知平面的法向量求出已知直线的方向向量取所求平面的法向量所求为例5.求过点(2,1,3)且与直线垂直相交的直线方程.提示:先求二直线交点P.化已知直线方程为参数方程,代入①式,可得交点最后利用两点式得所求直线方程的平面的法向量为故其方程为①过已知点且垂直于已知直线到直线的距离为(2)点d思路:先求交点例7.求过点且与两直线都相交的直线L.提示:的
