5第五讲：实数及二次根式

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1、中考数学总复习（五）第五讲：实数及二次根式本章非常重要，是中学代数的基础。数学概念的学习从有理数扩大到实数。学习方法：回忆法、比较法。主要知识点：1、实数及其相关概念、性质；2、根式、平方根和立方根；3、实数的运算。☆本章知识体系：考点1：实数及其相关概念、性质1、实数的分类：（分类的原则：不重合、不遗漏、有标准）实数无理数(无限不循环小数)有理数正分数负分数正整数0负整数整数分数正无理数负无理数按照定义0实数负数负整数负分数无理数有理数正数正整数正分数无理数有理数按照大小2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。常见的无理数有：所有开不尽的方根、圆周率π及一

2、些含有π的数、无限不循环、具有一定规律的数，如1.0232332333…（2与2之间依次多一个3）判断：所有无理数都可以写成根式的形式（）；带根号的数一定是无理数（）；无理数能写成两个整数之比（）。例题：实数中绝对值最小的数是，最大的负整数是，最小的正整数是。3、相关概念：相反数、绝对值、倒数、非负数等【例题】若为实数,下列代数式中,一定是负数的是()A.－2B.－(+1)2C.－D.－(+1)练习：下列结论正确的是（）A.∵，∴﹥bB.C.与不一定互为相反数D.+b﹥－b【例题】实数在数轴上的位置如图所示,化简:=练习：1、已知、b是有理数且满足（－2）

3、2+=0，则b的值为2、若数轴上表示数的点在原点的左边，则化简的结果是（）A.－B.－3C.D.3【例题】如图所示,数轴上A、B两点分别表示实数1，，点B关于点A的对称点为C，则点C所表示的实数为（）A.－2B.2－C.－3D.3－综合运用：已知、b互为相反数，c、d互为倒数，x、y满足，求的值。4、实数的大小比较　（1）对于数轴上的任意两个点，靠右边的点所表示的数较大；　（2）正数都大于0，负数都小于0，两个正数，绝对值较大的那个正数大；两个负数；绝对值大的反而小；　（3）对于实数a、b，若a-b>0a>b；a-b=0a=b；a-b<0a

4、于实数a，b，c，若a>b，b>c，则a>c；　（5）无理数的比较大小：利用平方转化为有理数：如果a>b>0，a2>b2a>b；或利用倒数转化：如比较与.【例题】比较下列每组数的大小：　　(1)与；　　(2)与；　(3)与；　(4)a与(a≠0)考点2：根式、平方根、立方根前提：含有根号的算式为根式。1、平方根(1)概念：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根（或者二次方根）。（2）性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根。（3）平方根的表示：a(a≥0)的平方根记作。例如：4的平方根记作，即=2及=2

5、。(4)算术平方根：一个正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根。a(a≥0)的平方根记作。（算术平方根具有双重非负性）（5）开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。数a叫做被开方数。注意：开平方和平方互为逆运算。☆二次根式的乘法与除法1、====ab2、，其中a、b0。3、==，其中a0、b0。【例题】计算下列根式：(1)(2)(3)(4)练习：计算下列根式：(1)(2)(3)(4)【例题】将下列根式化为最简根式：(1)(2)(3)☆二次根式的加减法【例题】化简下列根式：(1)(2)(3)练习：化简下列根式：(1)(2)(3)☆混合运算【例题】化简下

6、列根式：(1)(2)【例题】将下列各式化为分母不含根号的根式：(1)(2)练习：有理化的分母2、立方根（1）概念：如果x3=a，那么x叫做a的立方根。（2）性质：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根仍是零。（3）开立方：求一个数的立方根的运算。注意：开立方和立方互为逆运算。3、n次方和n次算术根（1）n次方：如果一个数的n次方(n为大于1的整数)等于a，那么这个数是a的n次方。（2）开n次方：求a的n次方根（n是大于1的整数）的运算，叫做把a开n次方。a叫做被开方数，n叫做根指数。（3）n次算术根：正数a的正的n次方根（n是大于1

7、的整数）叫做a的n次算术根。零的n次方根也叫做零的算术根。济南中考历年部分真题（2006年）7．已知，则代数式的值为（　）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．（2007年）1．4的平方根是（）A．2B．4C．D．（2009年）4．估计20的算术平方根的大小在（）A．2与3之间　B．3与4之间C．4与5之间D．5与6之间（2010年）⑴计算：+