无穷小量4函数的连续性

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1、第三讲(一)无穷小量与无穷大量(二)连续函数二、三个重要关系三、无穷小量的比较四、求极限举例五、函数的连续性一、无穷小量与无穷大量9/17/20211定义1：在某个变化过程中,极限为零的函数,称为在此变化过程中的无穷小量（无穷小）。五、无穷小量与无穷大量（一）定义例如：[注意]：无穷小量是极限为零的函数！无穷小量不是绝对值很小的数！9/17/20212定义2：在某个变化过程中,绝对值无限变大的函数,称为在此变化过程中的无穷大量（无穷大）。9/17/20213[例]9/17/20214（二）无穷小与无穷大的性质性质1：注意：性质1只可以推广到有限个函数[例]

2、9/17/20215性质2：性质3：9/17/20216[例][例]9/17/202171.（无穷小与无穷大）2.（极限与无穷小）（三）三个重要关系9/17/202183.无穷大与无界函数问题：两个无穷小量的商是否为无穷小量？9/17/20219二、无穷小量的比较定义：9/17/2021109/17/202111几个常用的等价无穷小量9/17/202112等价无穷小量的性质性质1：9/17/202113性质2：等价代换9/17/202114[解][例1]三、求极限举例9/17/202115[例2][解]9/17/2021169/17/202117[例3][

3、解]9/17/202118讨论：代数和不能代换！9/17/202119[解][例4]9/17/202120[解][例5]9/17/202121[解][例6]9/17/202122[解][例7]9/17/202123从而9/17/202124连续函数9/17/202125函数连续性的定义函数的连续性描述函数的渐变性态,在通常意义下，对函数连续性有三种描述：当自变量有微小变化时，因变量的变化也是微小的；自变量的微小变化不会引起因变量的跳变；连续函数的图形可以一笔画成,不断开.9/17/202126例如：9/17/2021279/17/2021289/17

4、/2021299/17/202130定义1：以上描述实质上是同义的反复,数学上要确切地刻画函数连续性,必须用极限作定量地描述.（一）定义9/17/202131[注意1]以上三条中带本质性的是第二条，极限的存在性.[注意2]9/17/202132定义2：（函数在一点的单侧连续性）9/17/202133定义3：（函数在区间上的连续性）9/17/202134（二）间断点的分类根据间断点的不同情况，可以分为三类：1.可去型间断点可去型间断不是本质性的间断,可以重新定义,使其连续.9/17/202135[例如]9/17/2021362.第一类间断点[例]符号函数9/

5、17/2021373.第二类间断点[例]9/17/202138五、函数连续性的基本性质（一）连续性定义的等价形式：9/17/202139（二）连续函数的有界性：9/17/202140（三）连续函数的保号性：9/17/202141（四）连续函数的运算性质：9/17/202142（六）初等函数的连续性初等函数在其定义区间上是连续的。（五）关于反函数的连续性9/17/202143连续函数的性质一、连续函数的基本性质二、初等函数的连续性三、闭区间上连续函数的性质9/17/202144一、函数连续性的基本性质（一）连续性定义的等价形式：9/17/202145（二）连

6、续函数的有界性：9/17/202146（三）连续函数的运算性质：9/17/202147二、初等函数的连续性初等函数在其定义区间上是连续的。（四）关于反函数的连续性结论：9/17/2021481.有界性定理：2.最大最小值定理：三、闭区间上连续函数的性质9/17/2021493.零点定理：9/17/2021504.介值定理：推论：9/17/202151f(x)g(x)9/17/202152