无穷大小量和连续性

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1、内容回顾二、极限的运算法则1.极限的概念(1)x→x0,(2)x→∞2.单侧极限一、极限=1.极限四则运算法则2.复合函数极限运算法则注意使用条件三、两个重要极限或注:代表相同的表达式四、函数极限的方法(1)有理分式函数极限求法时,用代入法(要求分母不为0)时,对型,约去公因子时,分子分母同除最高次幂(2)复合函数极限求法（变量代换）(3)两个重要极限思考与练习填空题(1～4)第七节第二节极限(之二)一、无穷小量、无穷大量二、函数的连续性本节内容:当一、无穷小量与无穷大量(1)定义.时,则称函数f(x)例如

2、:函数1/x为无穷小;函数是当为时的无穷小量,的无穷小.1.无穷小量注：①0是无穷小.无穷小不是一个很小的数.②无穷小必须指明x的趋向.简称无穷小.除0之外，所有的无穷小都是变量；结论10证明：其中(x)为时的无穷小量.对自变量x的其它变化过程结论仍成立.定理.(无穷小与函数极限的关系)由例得当x→0的无穷小量性质1:有限个无穷小量的和、差、积仍为无穷小量;性质2:常数与无穷小量的乘积仍为无穷小量;(2)无穷小量的性质证明：注：两个无穷小的商不一定是无穷小.反例性质3:例3.求根据性质3，有是个有界变量,

3、函数x是x→0时的无穷小,解：有界变量与无穷小量的乘积仍为无穷小量;证明：(3)无穷小的阶为了比较两个无穷小趋于0的速度,引入无穷小的阶.当x→0时，x2→0比x→0速度“快些”；反过来，x→0比x2→0速度“慢些”；sinx→0与x→0速度“快慢相仿”.(3)无穷小的阶①则称是比高阶的无穷小,②设是自变量同一变化过程中的无穷小,记则称是比低阶的无穷小;定义.为了比较两个无穷小趋于0的速度,引入无穷小的阶.③则称与是同阶无穷小;④则称是关于的q阶无穷小;则称与等阶无穷小;例如,当～时～～

4、又如，故时是关于x的二阶无穷小,～且例4.证明:证:目录上页下页返回结束因此即有等价关系:说明:上述证明过程也给出了等价关系:当x→0时，常用等价无穷小:★等价无穷小替换定理：且存在,则证:例5.设(3)求解:因式代替规则:界,则例如,例6(辨析)解:原式错误原因:①x→,sinx不等价于x,②和差不能代替sin不等价于;(1)定义.当x→x0(或x→∞)时,则称函数f(x)为当x→x0(或x→∞)时的无穷大,记作2.无穷大量若函数f(x)的绝对值无限增大，无穷大分两种情况：正无穷大、负无穷大例如，

5、(2)无穷小与无穷大的关系若为无穷大,为无穷小;若为无穷小,且则为无穷大.则据此定理,关于无穷大的问题都可转化为无穷小来讨论.定理.在自变量的同一变化过程中,说明:(不存在)内容小结1.无穷小与无穷大的定义2.无穷小与函数极限的关系4.无穷小与无穷大的关系作业练习题1.2（P28）2(习题指南)、4第五节（等价无穷小替换定理）3.无穷小的阶可见,函数在点二、函数连续性的定义定义1:在的某邻域内有定义,则称函数(1)在点即(2)极限(3)设函数连续必须具备下列条件:存在;且有定义,存在;对自变量的增量有函数的

6、增量左连续右连续函数在点连续有下列等价命题:（定义2）若在区间(a,b)内每一点都连续,则称f(x)在该区间(a,b)内连续,或称它为该区间(a,b)内的连续函数.则称f(x)是[a,b]上的连续函数,记作若f(x)在区间(a,b)内连续,且在a点右连续,在b点左连续,在a点右连续,在b点左连续指连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线。例7.证明函数在内连续.证:即这说明在内连续.同样可证:函数在内连续.2.连续函数的运算法则定理1.有限个在某点连续的函数的和,差,积,商(利用极限的四则运算法则证明)(分母

7、不为0)仍是一个在该点连续的函数.定理2.连续函数的复合函数仍是连续函数.证:设函数于是故复合函数即即函数y=f(u)在点初等函数的连续性基本初等函数在定义区间内连续连续函数经四则运算仍连续连续函数的复合函数连续一切初等函数在定义区间内连续例如,在区间(端点为单侧连续)的连续区间为的定义域为因此它无连续点而为连续函数在点在在三、函数的间断点(1)函数(2)函数不存在;(3)函数存在,但不连续，设的某去心邻域内有定义,若函数f(x)而点有下列情形之一:虽有定义,但虽有定义,且称为f(x)的间断点.在则称函数f

8、(x)在点无定义;为间断点.为间断点.例如:(3)为其间断点.显然为其间断点.(4)作业复习题2（P28）.1,2,7