4.2 两角和与差、二倍角的公式(一)

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1、4.2两角和与差、二倍角的公式（一）●知识梳理1.C（α+β）的推导角α的始边为Ox，交单位圆于P1，终边OP2交单位圆于P2，角β的始边为OP2，终边交单位圆于P3，角－β的始边为Ox，终边交单位圆于P4，由

2、

3、=

4、

5、，得［cos（α+β）－1］2+sin2（α+β）=［cos（－β）－cosα］2+［sin（－β）－sinα］2.∴cos（α+β）=cosαcosβ－sinαsinβ.2.S（α±β）、C（α－β）、T（α±β）以及推导线索（1）在C（α+β）中以－β代β即可得到C（α－β）.（2）利用cos（－α）=sinα即可得到S（α+

6、β）；再以－β代β即可得到S（α－β）.（3）利用tanα=即可得到T（α±β）.说明：理清线索以及各公式间的内在联系，是记忆公式的前提.只有这样才能记牢公式，才能用活公式.●点击双基1.（2004年重庆，5）sin163°sin223°+sin253°sin313°等于A.－B.C.－D.解析：原式=sin17°·（－sin43°）+（－sin73°）（－sin47°）=－sin17°sin43°+cos17°cos43°=cos60°=.答案：B2.（2005年春季北京，7）在△ABC中，已知2sinAcosB=sinC，那么△ABC一定是A

7、.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.正三角形解析：由2sinAcosB=sinC知2sinAcosB=sin（A+B），∴2sinAcosB=sinAcosB+cosAsinB.∴cosAsinB－sinAcosB=0.∴sin（B－A）=0.∴B=A.答案：B3.的值是A.B.C.D.解析：原式====.答案：C4.已知α∈（0，），β∈（，π），sin（α+β）=，cosβ=－，则sinα=_______.解析：由0＜α＜，＜β＜π，得＜α+β＜.故由sin（α+β）=，得cos（α+β）=－.由cosβ=－，得sinβ=.∴si

8、nα=sin［（α+β）－β］=sin（α+β）cosβ－cos（α+β）sinβ=·（－）－（－）·=－.答案：－5.△ABC中，若b=2a，B=A+60°，则A=_______.解析：利用正弦定理，由b=2asinB=2sinAsin（A+60°）－2sinA=0cosA－3sinA=0sin（30°－A）=030°－A=0°（或180°）A=30°.答案：30°●典例剖析【例1】设cos（α－）=－，sin（－β）=，且＜α＜π，0＜β＜，求cos（α+β）.剖析：=（α－）－（－β）.依上述角之间的关系便可求之.解：∵＜α＜π，0＜β＜，

9、∴＜α－＜π，－＜－β＜.故由cos（α－）=－，得sin（α－）=.由sin（－β）=，得cos（－β）=.∴cos（）=cos［（α－）－（－β）］=…=.∴cos（α+β）=2cos2－1=…=－.评述：在已知角的某一三角函数值而求另外一些角的三角函数值时，首先要分析已知和要求的角之间的关系，再分析函数名之间的关系.其中变角是常见的三角变换.【例2】（2000年春季京、皖）在△ABC中，角A、B、C对边分别为a、b、c.证明：=.剖析：由于所证结论是三角形的边、角关系，很自然地使我们联想到正弦定理、余弦定理.证明：由余弦定理a2=b2+c2

10、－2bccosA，b2=a2+c2－2accosB，∴a2－b2=b2－a2－2bccosA+2accosB，整理得=.依正弦定理有=，=，∴==.评述：在解三角形中的问题时，首先应想到正余弦定理，另外还有A+B+C=π，a+b＞c，a＞bA＞BsinA＞sinB等.【例3】已知α、β、γ∈（0，），sinα+sinγ=sinβ，cosβ+cosγ=cosα，求β－α的值.剖析：由已知首先消去γ是解题关键.解：由已知，得sinγ=sinβ－sinα，cosγ=cosα－cosβ.平方相加得（sinβ－sinα）2+（cosα－cosβ）2=1.∴

11、－2cos（β－α）=－1.∴cos（β－α）=.∴β－α=±.∵sinγ=sinβ－sinα＞0，∴β＞α.∴β－α=.评述：本题极易求出β－α=±，如不注意隐含条件sinγ＞0，则产生增根.因此求值问题要注意分析隐含条件.●闯关训练夯实基础1.（2004年上海，1）若tanα=，则tan（α+）=____________.解析：tan（α+）===3.答案：32.要使sinα－cosα=有意义，则应有A.m≤B.m≥－1C.m≤－1或m≥D.－1≤m≤解析：2sin（α－）=sin（α－）=.由－1≤≤1－1≤m≤.答案：D3.（2004年福

12、建，2）tan15°+cot15°等于A.2B.2+C.4D.解析一：tan15°+cot15°=+===4.解析二：由tan15°=t