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《方向导数与梯度(VI)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第八章多元函数微分学第七节上页下页返回结束方向导数与梯度方向导数的定义与计算梯度的概念与计算上页下页返回结束1.讨论函数z=f(x,y)在一点P沿某一方向的变化率本节主题:问题．2.函数在点P沿哪一方向增加的速度最快?(方向导数)(梯度)上页下页返回结束内有定义，的某一邻域在点设函数点,且为l上的另一设射线l的方向角为α,β,一、方向导数的定义与计算过P引射线l(如图).记当沿着趋于时，反映的是z=f(x,y)在点P沿方向l的变化率.上页下页返回结束这个比值刻画的是z=f(x,y)沿方向l的平均变化率.极限记为上页下页返回结束存在，
2、则称此极限为函数在点P沿方向l的方向导数．如果极限定义,即显然。fx表示的是函数z=f(x,y)在点P沿x轴正向的方向导数，fy表示的是函数z=f(x,y)在点P沿y轴正向的方向导数.而函数z=f(x,y)在点P沿x轴与y轴负向的方向导数分别是－fx，－fy.证明：由于函数z=f(x,y)点P(x,y)可微，两边同除以得到上页下页返回结束定理z=f(x,y)在该点沿任意方向l的方向导数都存在，且其中cosα,cosβ是方向l的方向余弦.如果函数z=f(x,y)在点P(x,y)可微，则所以函数在点P(x,y)的增量因此，方向导数上页下
3、页返回结束推广:则函数在该点沿任意方向l的方向导数存在,且若三元函数u=f(x,y,z)在点P(x,y,z)可微,为l的方向角.上页下页返回结束其中在点P(1,1,1)沿从点P(1,1,1)解：上页下页返回结束到点Q(2,3,3)方向的方向导数。本题的方向是例1.求函数解：上页下页返回结束例2.求函数z=xy在点处沿方向的方向导数.且问α为何值时，这点的方向导数达到最大？α为何值时，这点的方向导数达到最小？所以，方向导数达到最大.方向导数达到最小.二、梯度的概念与计算上页下页返回结束定义设函数),(yxfz=在平面区域D内具有一阶连
4、续偏导数，DyxPÎ),(,称向量jyfixfrr¶¶+¶¶则对每一点为函数z=f(x,y)在点P(x,y)的梯度,记为gradf(x,y).gradf(x,y)即：上页下页返回结束为函数u=f(x,y,z)在点P(x,y,z)的梯度,记为gradf(x,y,z).gradf(x,y,z)即：推广:若三元函数u=f(x,y,z)在空间区域G内具有一阶连续偏导数，则对每一点P(x,y,z)ÎG,称向量解:由梯度计算公式得故上页下页返回结束例3.求函数在点(1,1,2)处的梯度.上页下页返回结束梯度与方向导数的关系：（以二元函数为例）设
5、函数z=f(x,y)在点P(x,y)可微，是方向l上的单位向量,则其中)),((,eyxgradfr=q为梯度向量与方向l的夹角.lf¶¶有最大值当1)),,(cos(=eyxgradfr时，即时，,e0),(=yxgradfr上页下页返回结束二元函数：结论：（1）函数在某点的梯度gradf是一个向量，gradf(x,y)三元函数：gradf(x,y,z)（2）梯度的方向是函数在此点的方向导数取得最大值的方向.（3）梯度的模等于方向导数的最大值.内容小结1.方向导数•二元函数在点的方向导数为沿方向l(方向角为上页下页返回结束•三元函
6、数在点处沿方向l(方向角的方向导数为2.梯度•二元函数在点处的梯度为上页下页返回结束•三元函数在点处的梯度为3.关系方向导数存在•可微偏导数存在方向，且梯度的模等于方向导数的最大值.•梯度的方向是函数在此点的方向导数取得最大值的
