方向导数与梯度(III)

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1、第六节方向导数与梯度一问题的提出二方向导数的定义三方向导数的计算四梯度的概念实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)．在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热．假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比．在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？问题的实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方向（即梯度方向）爬行．一、问题的提出讨论函数在一点P沿某一方向的变化率问题．（如图）．引射线内有定义，自点的某一邻域在点设函数lPPUyxP)(),(),(,).(

2、pUPlyyxxPlxD+D+上的另一点且为并设为的转角轴正向到射线设j二、方向导数的定义当沿着趋于时，是否存在？且考虑}0,1{1=er依定义，函数),(yxf在点P沿着x轴正向、y轴正向}1,0{2=er的方向导数分别为yxff,；沿着x轴负向、y轴负向的方向导数是yxff--,.的方向导数．沿方向则称这极限为函数在点在，时，如果此比的极限存趋于沿着当之比值，两点间的距离与函数的增量定义lPPlPyxPPD+D=22)()(r记为证明由于函数可微，则增量可表示为两边同除以得到三、方向导数的计算定理如果函数),(yxfz=

3、在点),(yxP是可微分的，那末函数在该点沿任意方向L的方向导数都存在，且有，其中j为x轴到方向L的转角．故有方向导数例1求函数yxez2=在点)0,1(P处沿从点)0,1(P到点)1,2(-Q的方向的方向导数.解故x轴到方向lr的转角4p-=j.所求方向导数这里方向lr即为}1,1{-=PQ解由方向导数的计算公式知例2求函数　　　　　　　　　　在点沿与x轴方向夹角为a的方向射线lr的方向导数.并问在怎样的方向上此方向导数有（1）最大值；（2）最小值；（3）等于零？故（1）当4p=a时，方向导数达到最大值2;（3）当43p=a和4

4、7p=a时，方向导数等于0.（2）当45p=a时，方向导数达到最小值-2对于三元函数),,(zyxfu=，它在空间一点),,(zyxP沿着方向L的方向导数，可定义为推广可得三元函数方向导数的定义其中同理：当函数在此点可微时，那末函数在该点沿任意方向L的方向导数都存在，且有设方向L的方向角为gba,,例3设nr是曲面632222=++zyx在点)1,1,1(P处的指向外侧的法向量，求函数2122)86(1yxzu+=在此处沿方向nr的方向导数.解令故方向余弦为故例4求　　　　　　沿椭圆　　　　　　在处求：（1）外法线方向的方向导数（

5、2）内法线方向的方向导数解，，又，?:最快沿哪一方向增加的速度函数在点问题P定义设函数),(yxfz=在平面区域D内具有一阶连续偏导数，则对于每一点DyxP),(，都可定出一个向量，这向量称为函数),(yxfz=在点),(yxP的梯度，记为=),(yxgradf.四、梯度的概念其中)),((,eyxgradfr=q设jierrrjjsincos+=是方向lr上的单位向量，由方向导数公式知当1)),,(cos(=eyxgradfr时，有最大值.函数在某点的梯度是这样一个向量，它的方向与取得最大方向导数的方向一致,而它的模为方向导数的

6、最大值．梯度的模为结论x轴到梯度的转角的正切为．当不为零时，在几何上表示一个曲面曲面被平面所截得所得曲线在xoy面上投影如图等高线梯度为等高线上的法向量梯度与等高线的关系：向导数．的方于函数在这个法线方向模等高的等高线，而梯度的值较值较低的等高线指向数从数线的一个方向相同，且在这点的法高线的等的梯度的方向与点在点函数cyxfPyxPyxfz==),(),(),(类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的最大值.梯度的概念可以推广到三元函数三元函数),,(zyxfu=在空间区域G内具有一

7、阶连续偏导数，则对于每一点GzyxP),,(，都可定义一个向量(梯度)类似地,设曲面czyxf=),,(为函数),,(zyxfu=的等量面，此函数在点),,(zyxP的梯度的方向与过点P的等量面czyxf=),,(在这点的法线的一个方向相同，且从数值较低的等量面指向数值较高的等量面，而梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数.例5求函数yxzyxu2332222-+++=在点)2,1,1(处的梯度，并问在哪些点处梯度为零？解由梯度计算公式得故在)0,21,23(0-P处梯度为0.