2005年(宇振杯)上海市初中数学竞赛试卷

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1、2005年(宇振杯)上海市初中数学竞赛试卷（2005年12月11日上午9：00——11：00）题号一二三四总分得分评卷复核解答本试卷不得使用计算器一、填空题：（本大题10小题，前5题每题8分，后5题每题10分，共90分）1．在小于100的正整数n中，能使分数化为十进制有限小数的n的所有可能值是。2．将数码1，2，3，4，5，6，7，8，9按某种次序写成一个九位数：，则A的最大可能值是。3．如果一个两位数与三位数的积是29400，那么X+Y+Z=。4．已知a，b，x，y都为实数，且，则的值为。5．如图：△OAB的顶点

2、O（0，0），A（2，1），B（10，1），直线CDX轴，并且把△OAB面积二等分，若点D的坐标为（x，0），则x的值是。6．如果两个一元二次方程分别有两个不相同的实根，但其中有一个公共的实根，那么实根的大小范围是。7．如图：在梯形ABCD中，AB∥DC，DC=2AB=2AD，若BD=6，BC=4，则SABCD=。（SABCD表示四边形ABCD的面积，下同）8．如图，中，点M、N分别是边BC、DC的中点，AN=1，AM=2，且∠MAN=60°，则AB的长是。9．如图：△ABC中，点E、F分别在这AB、AC上，EF∥

3、BC，若S△ABC=1，S△AEF=2S△EBC，则S△CEF=。10．设P为质数，且使关于x的方程x2－px－580p=0有两个整数根，则p的值为。二、（本题20分）已知矩形ABCD的相邻两边长为a、b，是否存在另一个矩形A’B’C’D’，使它的周长和面积分别是矩形ABCD的周长和面积的？证明你的结认论。三、（本题20分）已知a、b、c都是大于3的质数，且。（1）求证：存在正整数n>1，使所有满足题设的三个质数a、b、c的和a+b+c都能被n整除；（2）求上一小题中n的最大值。四、（本题20分）如图：在Rt△AB

4、C中，CA>CB，∠C=90°，CDEF、KLMN是△ABC的两个内接正方形，已知SCDEF=441，SKLMN=440，求△ABC的三边长。2005年（宇振杯）上海市初中数学竞赛参考解答一、填空题1、6，31；2、4648；3、18；4、5；5、；6、7、18；8、9、10、29二、设矩形A’B’C’D’的相邻两边长为m、n，则按题意有m+n=,，因此m、n是二次方程的两正根。∵∴上述二次方程有两正根的条件是即∴当时，满足条件的矩形A’B’C’D’存在；当时，满足条件的矩形A’B’C’D’不存在。三、（1）∵c=

5、2a+5b，∴a+b+c=3a+6b=3(a+2b)又a、b、c都是大于3的质数，故引(a+b+c)，即存在正整数n>1(例如n=3)，使（2）∵a、b、c都是大于3的质数∴a、b、c都不是3的倍数若，例，这与C不是3的倍数矛盾同理，，也将导致矛盾因此，只能，于是当为质数，a+b+c=99=9×11；当为质数，a+b+c=135=9×15；∴在所有中，最大为9四、论正方形CDEF的边长为x，正方形KLMN的边长为y，则按题设x=21，y=，设BC=a，CA=b，AB=c，则a2+b2=c2注意到∴……①又由△AKL

6、∽△ABC得AL=同理，MB=故……②于是将它代入②式，可得进而于是a、b是二次方程的两根∵b>a∴，