数学课件:平面向量的数量积及运算律

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1、FsθW=Fscosθ思考:|F|cosθ是力F在位移S方向上的分力,功等于它和位移的乘积.而力和位移是向量,功却是数量。这启发我们向量间存在一种新的运算。我们今天来研究它。我们学过功的计算:平面向量的数量积及运算律太原十九中卢建振1.两个向量的夹角则∠AOB=θ叫做向量a与b的夹角(其中0°≤θ≤180°).θabOAB当θ=0°时,a与b同向;OAB当θ=180°时,a与b反向;OABB当θ=90°时,称a与b垂直,记为a⊥b.OAab已知两个非零向量a和b,作OA=a,OB=b,注意:两向量起点相同.2.数量积定义已知两个非零向量a和b,夹角为θ,把

2、a

3、

4、b

5、

6、cosθ叫做a与b的数量积(或内积,俗称点乘),记作a·b,即a·b=

7、a

8、

9、b

10、cosθ.规定:零向量与任一向量的数量积为0.aba×ba·b请你指出向量a和b的夹角是:abba(1)(2)(3)ABCABabCACB已知:A=θ.A=θ注意:“向量的数乘”与“向量的数量积”的区别.实数与向量的积两个向量的内积如ma是个向量;如a·b是个数量.3.一个向量在另一个向量方向上的投影θOABabB`θOABabB`θOABab(B`)bcosθ叫做向量b在a方向上的投影.a·b的几何意义:数量积a·b等于a的长度

11、a

12、与b在a的方向上的投影

13、b

14、cosθ的乘积.4.

15、向量数量积满足的运算律(1)a·b=b·a;(2)λ(a·b)=(λa)·b=a·(λb);(3)(a+b)·c=a·c+b·c.(a·b)·c=a·(b·c)?则(a+b)·c=ON

16、c

17、=(OM+MN)

18、c

19、=OM

20、c

21、+MN

22、c

23、=a·c+b·c.ONMa+bbac向量a、b、a+b在c上的射影的数量分别是OM、MN、ON,我们来验证分配律:我们来说明结合律是不成立的:设a•b=X(X=0)b•c=Y(Y=0).则;(a•b)•c=Xc  它与c方向相同或相反.a•(b•c)=Ya 它与a方向相同或相反.因为a与c的方向可以不相同,所以结合律不成立.4.向量数

24、量积的性质设a、b是非零向量,e是与b方向相同的单位向量,θ是a与e的夹角,则(1)e·a=a·e=acosθ.(2)a⊥ba·b=0.(向量垂直的充要条件)a·a可写成a2.(3)当a与b同向时,a·b=ab;当a与b反向时,a·b=-ab.特别地,a·a=a2或a=√a·a.(该式可以解决模的计算问题)a·bab(4)cosθ=.(用来解决角度问题)(5)a·b≤ab.(由于

25、cosθ

26、≤1,所以结论成立。用来比较大小和证明不等关系式。)例1(1)已知a=2,b=3,a与b夹角θ=60°求a·b;(2)已知a=3,b=5,a·b=-7.5,求a与b的夹角θ.解:

27、(1)a·b=abcosθ=2×3×=3.12(2)cosθ===-a·bab-7.53×512∴θ=120°.例2:求证:(1)(a+b)2=a2+2a·b+b2;(2)(a+b)·(a-b)=a2-b2.证明:(1)(a+b)2=(a+b)·(a+b)=(a+b)·a+(a+b)·b=a·a+b·a+a·b+b·b=a2+2a·b+b2.例2:求证:(1)(a+b)2=a2+2a·b+b2;(2)(a+b)·(a-b)=a2-b2.证明:(2)(a+b)·(a-b)=(a+b)·a-(a+b)·b=a·a+b·a-a·b-b·b=a2-b2.解:(1)(a+b)

28、2=a2+2a·b+b2=aa+2abcos60°+bb=39.(2)∵(a+b)2=a+ba+b=39∴a+b=√39.例3已知:a=2,b=5,且a、b夹角为60°试求(1)(a+b)2;(2)a+b;(3)a+b与b夹角θ的余弦值.aba+b60°例3已知:a=2,b=5,且a、b夹角为60°试求(1)(a+b)2;(2)a+b;(3)a+b与b夹角θ的余弦值.aba+b60°解:(3)(a+b)·b=a·b+b·b=abcos60°+b2=5+25=30.cosθ=(a+b)·ba+bb5√3930==.2√3913已知

29、a

30、=3,

31、b

32、=4,且a、b夹角为

33、60o,则a·b=_______,

34、a+b

35、=_______,

36、a–b

37、=________.6√37√13练习小结:(2)掌握向量数量积的重要性质,并利用这些性质处理有关长度、角度和垂直问题:a·a=a2;cosθ=;a·baba⊥ba·b=0.(1)通过本节的学习要掌握向量的数量积及几何意义,a·b=

38、a

39、

40、b

41、cosθ;(3)通过学习,熟悉立足数学公式分析性质的学习技巧,掌握类比和转化化归的数学思想。作业:课本P121习题5.61,2,3,4,5。思考题:已知直线l上两点A、B的坐标,又知直线l外一点C的坐标,怎样利用向量计算C点到直线l的距离?.C.A.B

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