数学课件：平面向量的数量积及运算律

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1、FsθW＝Fscosθ思考：｜Ｆ｜ｃｏｓθ是力Ｆ在位移Ｓ方向上的分力，功等于它和位移的乘积．而力和位移是向量，功却是数量。这启发我们向量间存在一种新的运算。我们今天来研究它。我们学过功的计算：平面向量的数量积及运算律太原十九中卢建振1.两个向量的夹角则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角(其中0°≤θ≤180°).θabOAB当θ＝0°时，a与b同向；OAB当θ＝180°时，a与b反向；OABB当θ＝90°时，称a与b垂直，记为a⊥b.OAab已知两个非零向量a和b，作OA＝a，OB＝b，注意：两向量起点相同．2.数量积定义已知两个非零向量a和b,夹角为θ，把

2、a

3、

4、b

5、

6、cosθ叫做a与b的数量积（或内积,俗称点乘），记作a·b，即a·b＝

7、a

8、

9、b

10、cosθ.规定：零向量与任一向量的数量积为0.aba×ba·b请你指出向量ａ和ｂ的夹角是：abba（１）（２）（３）ＡＢＣＡＢabＣＡＣＢ已知：Ａ＝θ．Ａ＝θ注意：“向量的数乘”与“向量的数量积”的区别.实数与向量的积两个向量的内积如ma是个向量；如a·b是个数量.3.一个向量在另一个向量方向上的投影θOABabB`θOABabB`θOABab(B`)bcosθ叫做向量b在a方向上的投影.a·b的几何意义：数量积a·b等于a的长度

11、a

12、与b在a的方向上的投影

13、b

14、cosθ的乘积.４.

15、向量数量积满足的运算律（1）a·b＝b·a；（2）λ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb)；（3）(a＋b)·c＝a·c＋b·c.(a·b)·c＝a·(b·c)？则(a+b)·c=ON

16、c

17、=(OM+MN)

18、c

19、=OM

20、c

21、+MN

22、c

23、=a·c+b·c.ONMa+bbac向量a、b、a+b在c上的射影的数量分别是OM、MN、ON,我们来验证分配律：我们来说明结合律是不成立的：设ａ•ｂ＝Ｘ（Ｘ＝０）ｂ•ｃ＝Ｙ（Ｙ＝０）．则；（ａ•ｂ）•ｃ＝Ｘｃ　　它与ｃ方向相同或相反．ａ•（ｂ•ｃ）＝Ｙａ　它与ａ方向相同或相反．因为ａ与ｃ的方向可以不相同，所以结合律不成立．4.向量数

24、量积的性质设a、b是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，θ是a与e的夹角，则（1）e·a＝a·e＝acosθ.（2）a⊥ba·b＝0.（向量垂直的充要条件）a·a可写成a2.（3）当a与b同向时，a·b＝ab；当a与b反向时，a·b＝－ab.特别地，a·a＝a2或a＝√a·a.（该式可以解决模的计算问题）a·bab（4）cosθ＝.（用来解决角度问题）（5）a·b≤ab.（由于

25、cosθ

26、≤1，所以结论成立。用来比较大小和证明不等关系式。）例1（1）已知a=2，b＝3，a与b夹角θ＝60°求a·b；（2）已知a＝3，b＝5，a·b＝-7.5，求a与b的夹角θ.解：

27、（1）a·b＝abcosθ＝2×3×＝3.12（2）cosθ＝＝＝-a·bab-7.53×512∴θ＝120°.例2：求证：（1）(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；（2）(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.证明：（1）(a＋b)2＝(a＋b)·(a＋b)＝(a＋b)·a＋(a＋b)·b＝a·a＋b·a＋a·b＋b·b＝a2＋2a·b＋b2.例2：求证：（1）(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；（2）(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.证明：（2）(a＋b)·(a－b)＝(a＋b)·a－(a＋b)·b＝a·a＋b·a－a·b－b·b＝a2－b2.解：(1)(a＋b)

28、2＝a2＋2a·b＋b2＝aa＋2abcos60°＋bb＝39.(2)∵(a＋b)2＝a＋ba＋b＝39∴a＋b＝√39.例3已知：a＝2，b＝5，且a、b夹角为60°试求（1）(a＋b)2；（2）a＋b；（3）a＋b与b夹角θ的余弦值.aba＋b60°例3已知：a＝2，b＝5，且a、b夹角为60°试求（1）(a＋b)2；（2）a＋b；（3）a＋b与b夹角θ的余弦值.aba＋b60°解：(3)(a＋b)·b＝a·b＋b·b＝abcos60°＋b2＝5＋25＝30.cosθ=(a＋b)·ba＋bb5√3930＝＝.2√3913已知

29、a

30、=3,

31、b

32、=4,且a、b夹角为

33、60o,则a·b=_______,

34、a+b

35、=_______,

36、a–b

37、=________.6√37√13练习小结：（2）掌握向量数量积的重要性质，并利用这些性质处理有关长度、角度和垂直问题:a·a＝a2;cosθ＝;a·baba⊥ba·b＝0.（1）通过本节的学习要掌握向量的数量积及几何意义,a·b＝

38、a

39、

40、b

41、cosθ；（3）通过学习，熟悉立足数学公式分析性质的学习技巧，掌握类比和转化化归的数学思想。作业：课本P121习题5.61，2，3，4，5。思考题：已知直线l上两点A、B的坐标，又知直线l外一点C的坐标，怎样利用向量计算C点到直线l的距离？.C.A.B