解析—归类整理——定点定值问题

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1、圆锥曲线——定点定值问题直线过定点问题1．已知椭圆的焦点坐标为F1（﹣2，0），F2（2，0），过F2垂直于长轴的直线交椭圆于P、Q两点，且，（1）求椭圆的方程；（2）M为椭圆的上顶点，过点M作直线MA、MB交椭圆于A、B两点，直线MA、MB的斜率分别为k1、k2，且k1+k2=8，求证：AB过定点，并求出定点坐标．解：（1）由已知得c=2，丨PQ丨==2，即a=b2，①由a2=b2+c2=b2+1，②由①②解得：b=2，a=2故椭圆方程为；（2）证明：若直线AB的斜率存在，设AB方程为y=kx+m，且m≠±2，设A

2、（x1，y1），B（x2，y2），，整理得：（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣8=0，x1+x2=﹣，x1x2=，由已知可知：+=8，则+=8，即2k+（m﹣2）=8，…（8分）∴k﹣=4，整理得m=k﹣2．故直线AV的方程为y=kx+k﹣2，即y=k（x+）﹣2．所以直线AB过定点（﹣，﹣2）．…（10分）若直线AB的斜率不存在，设AB方程为x=x0，设A（x0，y0），B（x0，﹣y0），由已知，得．此时AB方程为，显然过点（﹣，﹣2）．综上，直线AB过定点（﹣，﹣2）．…（12分）2.已知椭圆C的方程为=1

3、（a＞b＞0）．左，右焦点分别为F1，F2，焦距为2．点M是椭圆C上一点，满足∠F1MF2=60°，且=，（Ⅰ）求椭圆的方程．（Ⅱ）过点P（0，1）分别作直线PA，PB交椭圆C于A，B两点，设直线PA，PB的斜律分别为k1，k2，且k1+k2=2，求证：直线AB过定点．解：（Ⅰ）设

4、MF1

5、=m，

6、MF2

7、=n，则∵∠F1MF2=60°，且=，∴4=m2+n2﹣mn，mn•=，∴m+n=2，∴2a=2，∴a=，∵c=1，b=1，∴椭圆C的方程为（5分）（Ⅱ）当直线AB存在斜率时，设其方程为y=kx+m（m≠0），又设

8、A（x1，y1），B（x2，y2）．把y=kx+m代入并整理，得（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣2=0，△=16k2m2﹣4（2k2+1）（2m2﹣2）＞0，且，∵k1+k2=2，∴，∵y1=kx1+m，y2=kx2+m，∴，即，可得m=k﹣1，所以直线AB方程为：y=k（x+1）﹣1，显然直线AB恒过定点（﹣1，﹣1）当直线AB过定点（﹣1，﹣1）且垂直x轴时，也满足k1+k2=2．综上，直线AB过定点（﹣1，﹣1）．1．（2017•新课标Ⅰ）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），四点P1（1，1），P2（0，1

9、），P3（﹣1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上．（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1，证明：l过定点．解：（1）根据椭圆的对称性，P3（﹣1，），P4（1，）两点必在椭圆C上，又P4的横坐标为1，∴椭圆必不过P1（1，1），∴P2（0，1），P3（﹣1，），P4（1，）三点在椭圆C上．把P2（0，1），P3（﹣1，）代入椭圆C，得：，解得a2=4，b2=1，∴椭圆C的方程为=1．证明：（2）①当斜率不存在时，设l：x=m，A（m，yA），B

10、（m，﹣yA），∵直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1，∴===﹣1，解得m=2，此时l过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足．②当斜率存在时，设l：y=kx+b，（b≠1），A（x1，y1），B（x2，y2），联立，整理，得（1+4k2）x2+8kbx+4b2﹣4=0，，x1x2=，则=====﹣1，又b≠1，∴b=﹣2k﹣1，此时△=﹣64k，存在k，使得△＞0成立，∴直线l的方程为y=kx﹣2k﹣1，当x=2时，y=﹣1，∴l过定点（2，﹣1）．3．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，且C上任意一点到两

11、个焦点的距离之和都为4．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）如图，设A是椭圆长轴一个顶点，直线l与椭圆交于P、Q（不同于A），若∠PAQ=90°，求证直线l恒过x轴上的一个定点，并求出这个定点的坐标．解：（Ⅰ）2a=4，a=2，，，∴椭圆的方程是．（Ⅱ）设直线AP的方程为l1：y=k（x﹣2），P（x1，y1）由得，（1+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣4=0．则，∴，，∵∠PAQ=90°，设Q（x2，y2）以代换x1，y1表达式中的k，得，，设直线PQ交x轴于点M（m，0），，，，∴，5m（1+k2）=6（1+k2）则

12、，∴直线EF过定点．4.已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，两个焦点分别为F1和F2，椭圆C上一点到F1和F2的距离之和为12．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设点B是椭圆C的上顶点，点P，Q是椭圆上；异于点B的两点，且PB⊥QB，求证直线PQ经过y轴上一定点．解：（Ⅰ）设椭圆C：+=1（a＞b＞0）的半焦距为c，则∵椭圆C上一点到F1和F2的距