导数和微分的计算方法

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1、导数和微分计算导数和微分的计算法则相同，只不过形式上有所不同，因此只列出了求导的运算法则。一、基本初等函数的导数公式：（1）(xμ)'=μxμ-1（2）(sinx)'=cosx（3）(cosx)'=-sinx（4）(tanx)'=sec2x(5)(ctgx)'=-csc2x(6)(secx)'=secxtanx(7)(cscx)'=-cscxctgx(8)(ax)'=axlna(a>0,a≠1)(9)(ex)'=ex(10)(logax)'=1xlna(a>0,a≠1)(11)(lnx)'=1x(12)(arcsin

2、x)'=11-x2(13)(arccosx)'=-11-x2(14)(arctanx)'=11+x2(15)(arccotx)'=-11+x2二、函数的和差积商的求导法则设u=ux,v=v(x)都可导(C为常数)，则(1)(u±v)'=u'±v'(2)(Cu)'=Cu'(3)(uv)'=u'v+uv'(4)(vu)'=v'u-vu'u2三、反函数的求导设y=f(x)为x=f-1(y)的反函数，f-1(y)在y某邻域单调可导，且[f-1(y)]'≠0则f'x=1[f-1(y)]'。四、复合函数求导法则设y=fu,u=g

3、x，且f(u)及g(x)都可导，则复合函数y=f(gx)的导数为：dydx=dydududx五、隐函数求导法则如果变量x和y满足方程Fx,y=0，在一定条件下，当x取某一区间内的任一值时，相应地总有唯一的y值与其对应，则称Fx,y=0在该区间内定义一个隐函数。隐函数的求导只需在方程两端同时对x求导。六、参数方程的求导法则若x=ϕ(t)y=ψ(t)，则dydx=ψ'(t)ϕ'(t)历年真题1、设x=e-ty=0tln1+u2du，则d2ydx2

4、t=0=(2010，数一，4分)【解析】dydx=ln⁡(1+t2)-e-

5、td2ydx2=ddt-etln1+t21x't=e2t[2t1+t2+ln⁡(1+t2)]d2ydx2

6、t=0=0正确答案为0。1、设函数fx=ex-1(e2x-2)⋯(enx-n)，其中n为正整数，则f'0=。A-1n-1n-1!B-1nn-1!C-1n-1n!D-1nn!(2012，数一，4分)【解析】令gx=(e2x-2)⋯(enx-n)，则fx=ex-1g(x)f'x=[ex-1gx]'=exgx+ex-1g'xf'0=e0g0+e0-1g'0=-1n-1n-1!正确答案为（A）。2、设x=sinty=ts

7、int+costt为参数，则d2ydx2

8、t=π4=(2013，数一，4分)【解析】dydx=sint+tcost-sintcost=td2ydx2=1costd2ydx2

9、t=π4=2本题的答案为2。1、设函数y=f(x)由方程y-x=ex(1-y)确定，则limn→∞n[f1n-1]=。(2013，数一，4分)【解析】当x=0时，y=1y'-1=ex(1-y)[1-y-xy']y'0=1limn→∞n[f1n-1]=limn→∞f1n-f(0)1n=f'0=1正确答案为1。2、设fx是周期为4的可导奇函数，且f'

10、x=2x-1,x∈0,2,则f7=(2014，数一，4分)【解析】f'x=2x-1,x∈0,2,fx=x2-2x+C又fx为奇函数，所以f0=0；可得：C=0fx是周期为4的奇函数，f7=f8-1=f-1=-f1=1正确答案为1。3、已知函数f(x)由方程ey+6xy+x2-1=0确定，则y''0=(2002，数一，3分)【解析】方程两端对x求导可得:eyy'+6y+6xy'+2x=0y'0=0继续对eyy'+6y+6xy'+2x=0两端求导可得：eyy'y'+eyy'’'+12y'+6xy''+2=0y''0=-2

11、正确答案为-2。