第8章第45讲直线的斜率与直线的方程

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1、第八章平面解析几何初步直线的斜率与直线的方程第45讲求直线的方程【例1】点评本题考查直线方程的基础知识和基本方法,主要考查点斜式和两点式.第(1)问已知直线过一定点,倾斜角又是已知直线的倾斜角的一半,用三角函数公式可以把它们的斜率联系起来,故而想到设点斜式方便一些.应该注意的是,倾斜角是另一直线的倾斜角的一半,并不意味着斜率也是一半!本小题方法较多.第一种方法是:设点A(x,y)在l1上,则点A关于点P的对称点B(6-x,-y)在l2上,代入l2的方程,联立求得交点,从而求得直线方程.【变式练习1】基本不等式与直线方程的综合问题【例2】点评(1)截距

2、相等,包括过原点的情形;(2)应用基本不等式求最值一定要注意条件的验证.【变式练习2】已知直线l过点M(1,1),且与x轴的正半轴交于A点,与y轴的正半轴交于B点,O是坐标原点.求:(1)当

3、OA

4、+

5、OB

6、取得最小值时,直线l的方程;(2)当

7、MA

8、2+

9、MB

10、2取得最小值时,直线l的方程.直线方程的应用【例3】某房地产公司要在荒地ABCDE(如图)上划出一块长方形地面(不改变方位)建造一幢商业住宅.已知BC=70m,CD=80m,DE=100m,EA=60m,问如何设计才能使住宅楼占地面积最大?并求出最大面积(精确到1m2).点评本题是一个生活实

11、际问题,解法不只一种.像上面这样利用直线方程来解决是比较好的一种方法.因为要使得占地面积尽可能地大,线段AB上不取点是不现实的,而线段AB所在的直线方程可以用截距式很方便地写出,P点的横、纵坐标x、y满足,就可以消去一个未知量了,何乐而不为呢?【变式练习3】已知直线l:kx-y+1+2k=0(k∈R).(1)证明:直线l过定点;(2)若直线l不经过第四象限,求实数k的取值范围;(3)若直线l与x轴的负半轴交于A点,与y轴的正半轴交于B点,O是坐标原点,△AOB的面积为S,求S的最小值,并求此时直线l的方程.1.m为任意实数时,直线(m-1)x+(2m

12、-1)y=m-5必经过定点_____________.(9,-4)3.已知直线l被坐标轴截得线段中点是(1,-3),则直线l的方程是__________________.3x-y-6=0本节内容主要从两个方面考查:一是如何利用题目给出的条件求直线方程,多用待定系数法,需要仔细审题,判明设直线方程的哪一种形式更为方便,并且要分类讨论,考虑周全,以免漏解;二是直线方程的应用,包括用直线方程解决实际问题,也包括给出一个含参数的直线方程,根据条件讨论参数的取值范围等.1.用待定系数法求直线方程时,要考虑特殊情形,以防丢解.下面列出直线方程的形式及注意事项:名

13、称条件方程注意事项点斜式已知直线的斜率为k且过点(x0,y0)y-y0=k(x-x0)记得把直线x=x0“捡回来”斜截式已知直线的斜率为k、纵截距为by=kx+b记得把k不存在的直线“捡回来”名称条件方程注意事项两点式已知直线过两点(x1,y1)、(x2,y2)记得把直线x=x1和直线y=y1“捡回来”截距式直线在x、y轴上的截距分别是a、b记得把过原点的直线及平行于坐标轴的直线“捡回来”一般式Ax+By+C=0注意B=0和A=0的陷阱2.用待定系数法求直线方程的步骤:(1)根据判断,设所求直线方程的一种形式;(2)由条件建立所求参数的方程;(3)解

14、方程(组)求出参数;(4)把参数值代入所设直线方程,最后将直线方程化为一般式.4.在确定直线的倾斜角、斜率时,要注意倾斜角的范围、斜率存在的条件;在利用直线方程的几种特殊形式时要注意它们各自的适用范围,特别是在利用直线的点斜式与斜截式解题时,要防止由于“无斜率”而漏解,在解与截距有关的问题时,要防止“零截距”漏解现象.

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