勾股定理在折叠问题中的应用

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1、§14.2勾股定理应用——图形的折叠授课人：林建萌一、学情分析：学生通过对第14章勾股定理的学习，已基本掌握了勾股定理及其逆定理，了解了勾股定理的文化背景，体验了勾股定理的证明过程，为进一步探索应用勾股定理做好了铺垫。二、教学目标1、知识与技能：（1）理解折叠问题的实质，掌握解题步骤，明确解决问题的突破口；（2）能正确利用勾股定理解决折叠问题，进行直角三角形有关的计算；（3）通过问题的探索，让学生感受勾股定理在实际生活中的应用。2、过程与方法：（1）经历观察、比较、发现折叠的过程，在讨论类比中探索勾股定理解决折叠问题的方法；（2）通过

2、实际问题，强化转化思想，培养学生解决现实问题的意识和应用能力。3、情感态度与价值观：（1）在与同学交流讨论中，学会倾听、思考，大胆发表自己的观点，并体验学习的快乐，养成严谨认真的解题习惯；（2）通过图形的折叠，渗透全等，对称图形的意识；（3）体会勾股定理的应用价值，体会数学来源于生活，又应用到生活中去，增强学生应用数学知识解决实际问题的经验和感受，同时在学习的过程中体会获得成功的喜悦，提高了学生学习数学的兴趣和信心。三、教学重点：（1）探究折叠前后图形的变化特点和规律；（2）利用勾股定理解决折叠问题；（3）引导学生对问题进行探讨，启发

3、学生归纳、综合应用。四、教学难点：（1）折叠前后元素对应关系；（2）利用勾股定理解决折叠问题；（3）引导学生对问题进行探讨，启发学生归纳、综合应用。五、教学过程：31、复习导入（1）概念复习勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如图所示，∵在Rt△ABC中,∠C=90º,AB=c,AC=b,BC=a,a2+b2=c2。勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形，且边c所对的角为直角。∵△ABC中,AB=c,AC=b,BC=a,且a2+b2=c2,∠C=90º(△ABC

4、是直角三角形).（2）练习：1）试判断由下列三边围成的三角形能否是直角三角形？若是，指出哪一边所对的角是直角。（1）3,4,5；（2）4，5，6；（3）5，12，13；（4）6a,8a,10a2）求下列阴影部分的面积（1）阴影部分为长方形；（2）阴影部分为半圆；（3）阴影部分如图所示2、新授例、如图，已知在△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC=3。现将△ABC折叠，使点A落在BC边上，折痕为DE。问题：（1）折叠后的图形中，有哪些相等的线段和相等的角？（2）点F在线段BC上运动的过程中，BD怎样变化，是否存在最值？（3）什么情况下

5、线段BD有最大值或者最小值？学生分小组讨论，用纸片演示BD的变化情况。各小组归纳总结。3点A和点B重合时，BD有最大值；点A和点C重合时，BD有最小值。试求这两个最值。另解：如果设BD=x，BF=m，那么x=（用含m的代数式表示x）试求BD的取值范围。归纳：利用勾股定理解决折叠问题的解题步骤：①标已知，标问题，明确目标在哪个直角三角形中，设适当的未知数x；②利用折叠，找全等；③将已知边和未知边（用含x的代数式表示）转化到同一个直角三角形中；④利用勾股定理，列方程、解方程，得解。想一想：①若点F在BC的延长线上运动，则BD怎样变化，是否

6、存在最值？②点F在BC的延长线上运动过程中，折痕DE怎样变化，是否存在最值？33、动动脑算趣题：“执竿进屋”笨人执竿要进屋，无奈门框拦住竹，横多四尺竖多二，没法急得放声哭。有个邻居聪明者，教他斜竿对两角，笨伯依言试一试，不多不少刚抵足。借问竿长多少数，谁人算出我佩服。试求能进屋的竹竿的最值。总结：思维不能被禁锢。4、真题链接：C'如图，已知一张长方形纸片ABCD，AB∥CD，AD=BC=1，AB=CD=5。在长方形ABCD的边AB上取一点M，在CD上取一点N，将纸片沿MN折叠，使MB与DN交于点K，得到△MNK．B'NDC1KDCAB

7、MBA（1）请你动手操作，判断△MNK的形状一定是；（2）问△MNK的面积能否小于？试说明理由；（3）如何折叠能够使△MNK的面积最大？请你用备用图探究可能出现的情况，并求最大值．DCABDCAB5、课堂小结：本节课我们学习了如果利用勾股定理来解决实际问题中图形的折叠问题。解题的关键在于如何将已知边和未知边转化到同一个直角三角形中，然后利用勾股定理来解答。最值的取得，通常要考虑临界状态。6、作业六、反思3