微积分学PPt标准课件17-第17讲高阶导数

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1、高等院校非数学类本科数学课程——一元微积分学大学数学（一）第十七讲高阶导数脚本编写、教案制作：刘楚中彭亚新邓爱珍刘开宇孟益民第四章一元函数的导数与微分本章学习要求：理解导数和微分的概念。熟悉导数的几何意义以及函数的可导、可微、连续之间的关系。熟悉一阶微分形式不变性。熟悉导数和微分的运算法则，能熟练运用求导的基本公式、复合函数求导法、隐函数求导法、反函数求导法、参数方程求导法、取对数求导法等方法求出函数的一、二阶导数和微分。了解n阶导数的概念，会求常见函数的n阶导数。熟悉罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒中值定理，并能较好运用上述定理解决有关问题（函数方程求解、不等式

2、的证明等）。掌握罗必塔法则并能熟练运用它计算有关的不定式极限。第三节高阶导数第四章一元函数的导数与微分一.高阶导数的概念高阶导数的运算法则隐函数及参数方程确定的函数的高阶导数一.高阶导数的概念例推而广之:按照一阶导数的极限形式,有和一个函数的导函数不一定再可导,也不一定连续.如果函数f(x)在区间I上有直到n阶的导数f(n)(x),且f(n)(x)仍是连续的(此时低于n阶的导数均连续),则称f(x)在区间I上n阶连续可导,记为如果f(x)在区间I上的任意阶的高阶导数均存在且连续,则称函数f(x)是无穷次连续可导的,记为…………………………解例1注意,当k=n时综上所述：解例2多项式

3、的高阶导数.………………解例3对多项式而言,每求一次导数,多项式的次数降低一次;n次多项式的n阶导数为一常数;大于多项式次数的任何阶数的导数均为0.求y=ex的各阶导数.解y=ex的任何阶导数仍为ex例4求y=ax的各阶导数.解运用数学归纳法可得例5求y=lnx的各阶导数.解设例6类似地,有则故由数学归纳法得解注意这里的方法例7即类似地,有解看出结论没有？例8运用数学归纳法可以证得类似地,可求得解例9解二阶导数经常遇到,一定要掌握.例10解由复合函数及反函数的求导法则,得例11解例12高阶导数的运算法则设f(x),g(x)有直到n阶的导数,则(1)(2)莱布尼兹公式两个基本公式由于

4、故解例13解由莱布尼兹公式例14证看出一点什么没有？你打算怎么处理此式？例15对上式关于x求导n次：故即隐函数及参数方程确定的函数的高阶导数原则是:按照高阶导数的定义,运用隐函数及参数方程所确定的函数的求导法则逐阶进行求导.对方程两边关于x求导:解想想如何求二阶导数？例16对方程两边关于x求导,得:对该方程两边关于x求导:解从而其中,例17方程两边对x求导解例18故解例19参数方程求导并不难啊！解例20解例21例22解