微积分向量的乘法运算

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1、第三节向量的乘法运算一、向量的数量积二、向量的向量积三、向量的混合积五、思考与练习四、小结一、两向量的数量积沿与力夹角为的直线从点M1移动到点M2,引例设一物体在常力F作用下,位移为s,则力F所做的功为1.定义设向量、夹角为，为向量与的数量积则称数量记为,即.(点积、内积).注意：中的“.”不能省.2.数量积符合下列运算规律：(2)交换律：(3)分配律：(投影)(4)若l为数：若l、m为数：3.关于两向量垂直的说明：证正交(或垂直),定理证则如图：设例1证明三角形余弦定理4.数量积的坐标表示设数量积的坐标表示式4.数量积的坐标表示设数量积的坐标

2、表达式两向量夹角余弦的坐标表达式由此可知解例3解例4解证二、向量的向量积二、向量的向量积1.定义它的模为：向量积也称为“叉积”、“外积”.引例中的力矩思考右图三角形面积S＝__________2.关于向量积的说明：证(2)分配律（力矩）：(3)若l为数：3.向量积符合下列运算律：4.向量积的坐标表示设向量积的分解表达式向量积的坐标表达式向量积还可用三阶行列式表示(三阶行列式计算见课本P319～P320)4.向量积的坐标表示设向量积的分解表达式5.向量积的几何意义1)表示以和为邻边的平行四边形的面积.2)与一切既平行于又平行于的平面相垂直.例1解(1

3、)(2)DABC的面积为例1解(3)解例2解三、向量的混合积1.定义即其底面积高故平行六面体体积为几何意义：混合积的绝对值表示以向量为棱的平行六面体体积.2.混合积的坐标表示设混合积的坐标表达式3.性质(2)轮换对称性(可用三阶行列式推出)(1)三个非零向量共面ÜÞ解例1例2求以不在同一平面上的四点Ak(xk,yk,zk)(k=1,2,3,4)为顶点的四面体的体积.已知四面体的体积等于以向量为棱的平行六面体体积的解例3问四点A(1,1,1),B(4,5,6),C(2,3,3),D(10,15,17)是否共面?解点A,B,C,D共面.四、小结设2、

4、向量的向量积(结果是一个向量)1、向量的数量积(结果是一个数)设3、向量的混合积(结果是一个数量)5、数量积几何应用要点：(1)求向量的模：(2)求两向量的夹角：(3)求一个向量在另一个向量上的投影：6、向量积几何应用要点：(2)求以向量为邻边的平行四边形的面积：(1)求与两个非共线向量同时垂直的向量：7、混合积几何应用要点：(2)以为相邻棱的平行六面体的体积：(3)以不共面四点A,B,C,D为顶点的四面体体积：五、思考与练习思考与练习解答解解解